Представьте себе куклу-неваляшку. Допустим, ее центр тяжести находится на высоте h над плоскостью опоры. Возможно ли ее нижней поверхности придать такую форму, чтобы время возвращения куклы из наклонного состояния в вертикальное не зависело от угла наклона?
Перед нами бумажный равносторонний треугольник. Лицевая сторона красного цвета, задняя - зеленого. Согнув треугольник так, чтобы вершина его легла на противоположную сторону, увидим, что не закрытыми зеленым цветом останутся два красных треугольника. Как с помощью циркуля и линейки построить такую линию сгиба, чтобы площади двух оставшихся красных треугольников относились как k? Какие значения может принимать k?
Авто поднято на подъемнике. От пола до днища картера 180 см. Ось маслосливной горловины наклонена к вертикали под 45°. На полу оцинкованное ведро посреди кучки опилок. Ловким движением туфли мастер устанавливает ведро так, что при съеме пробки масло точно попадает в ведро, и потом в процессе туфля пододвигает ведро еще пару раз. Можно ли сразу установить ведро так, чтоб пододвигать в процессе не приходилось до полной кончины масла, если высота и диаметр верхнего среза ведра равны 30 см, а глубина масла в картере 10 см?
В треугольнике ABC окружность, построенная на диаметре AC, пересекает высоту BD в точке F, а окружность, построенная на диаметре AB, пересекает высоту CE и её продолжение в точках G и H соответственно. Угол CHF равен 12°. Найти величину угла AGF.
Какую форму приобретёт упругое кольцо, повешенное на гвоздь?
Коля и Петя из хулиганских исследовательских побуждений взяли трубу квадратного сечения за торцы и скрутили, повернув торцы друг относительно друга на 720 градусов. Ось трубы при этом осталась прямолинейной. Трубу прокатили по песку в направлении, перпендикулярном ее оси, слегка придавив её и сделав несколько оборотов, так, что вдоль её траектории не осталось не тронутых трубой участков песка. Попробуйте построить сечения следа на песке в направлении движения трубы и в направлении, параллельном оси трубы.
Через середину одной из сторон треугольника провести прямую, делящую периметр треугольника пополам.
В треугольнике ABC провести такой отрезок DF, что точка D лежит на AB, F на BC, и |AD|=|DF|=|FC|.
Джим Лой
Антенщик-мачтовик, монтируя что-то там на 500-метровой отметке Останкинской телебашни, выронил гайку. В какую сторону и на сколько метров будет отстоять точка падения гайки на землю от вертикали, проходящей через начальную точку?
фольклор
…букашка по имени Жанетта выползла из дырочки в глобусе диаметром 1 метр в точке, обозначающей Кейптаун, и двинулась на северо-восток, строго придерживаясь азимута 45°. Куда она приползёт и какова будет длина её пути?
Старинная задача навигацких наук
Назовем диаметром выпуклого многоугольника отрезок, отсекаемый его сторонами на прямой, проходящей через центр тяжести многоугольника. Проведем из центра тяжести луч в произвольном направлении. Теперь, проводя прямые под возрастающим с неким шагом углом к этому лучу, будем измерять полученные диаметры в диапазоне угла от 0 до Пи. Найдем средний арифметический диаметр. Устремив угловой шаг к нулю, найдем точное значение этого среднего арифметического диаметра. Можно ли вывести формулу для вычисления этого диаметра для треугольника со сторонами a, b, c? Для четырехугольника со сторонами a, b, c, d? Интересно было бы найти соотношение между таким средним диаметром треугольника со сторонами a, b, c и диаметрами его вписанной и описанной окружностей.
Через произвольно выбранную точку М внутри треугольника провести прямую, разрезающую треугольник на две равновеликие фигуры.
webmath.ru
Отрезками прямых, исходящими из вершин равностороннего треугольника, разбить его на четыре треугольника так, чтобы радиусы вписанных в них окружностей были равными.
Forum Geometricorum. Volume 5. 2005
Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .
“Полином”, №1, 2010
На стороне АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) как на диаметре построена окружность, пересекающая АВ в точке Е. Медиана АD и отрезок СЕ пересекаются в точке Р. Найти площадь треугольника АВС, если РС=7, РЕ=3.
webmath.ru
