Задачи по геометрии

Задача № 125. Сальто гексагона.

balu — Sat, 28 Aug 2010 17:54:33 +0000

На плоскость, наклоненную к горизонту под углом бета, кладут монолитную шестигранную прямоугольную призму так, что её продольная ось параллельна горизонту, и отпускают. Случись покатившейся призме подпрыгнуть или, приземлившись, удариться о плоскость, удар будет абсолютно упругим. Скольжение между плоскостью и призмой отсутствует. Найдется ли такой угол бета, при котором покатившаяся и ненароком оторвавшаяся от плоскости призма приземлится на наклонную плоскость точно какой-либо из своих боковых граней (ну то есть не ударится о неё ребром, высекая искры, а шлёпнется всей боковой гранью плашмя)?

Задача № 124. Отражение от окружности.

balu — Tue, 03 Aug 2010 06:52:39 +0000

Внутри окружности выбраны произвольно две точки A и B. Найти такое направление луча из точки A, чтобы отраженный от окружности луч попал в точку B.

Задача №123. Чудная биссектриса.

balu — Sun, 01 Aug 2010 06:32:42 +0000

Угол при вершине B треугольника ABC составляет 120 градусов. Продолжение биссектрисы угла B пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Докажите, что BL= AB + BC.

Задача №122. Неваневинелонская башня.

balu — Fri, 30 Jul 2010 19:31:34 +0000

Вавилонская башня. По боковой поверхности конуса винтовая лестница. При постоянном шаге винта угол подъема лестницы по мере приближения к верхушке башни увеличивается. А можно ли построить сужающуюся кверху башню такой формы, чтобы и шаг винта лестницы был постоянным, и угол её подъема сохранялся одинаковым от подножья до верхушки?

Задача № 121. Отрезок в углу.

balu — Wed, 23 Jun 2010 20:11:51 +0000

На плоскости начерчен угол и точка P внутри угла. Кроме того, вне угла имеется отрезок AB. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить проходящий через точку P отрезок длиною AB, концы которого лежат на сторонах угла?

Задача № 120. Полости ГМТ.

balu — Mon, 21 Jun 2010 18:25:11 +0000

На плоскости лежат, касаясь друг друга, два шара радиусов R и r. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся двух данных. Интересно составить уравнение кривой пересечения ГМТ с опорной плоскостью шаров. Если ГМТ разбивает пространство на два полупространства, можно ли оценить отношение частей объема “меньшего” из них, на которые разбивает его опорная плоскость?

Задача № 119. Страгипуллер в ЦПК

balu — Fri, 18 Jun 2010 19:37:21 +0000

В большом неподвижном колесе R водило V длиной R/2 начинают вращать вокруг центра O с угловым ускорением ε до поворота его на 180 градусов, после чего вращение замедляют с тем же ускорением до остановки его в начальной точке. При этом малое колесо R/2, ось вращения которого находится на конце водила в точке Q, катится по большому благодаря зубчатому зацеплению. В точке контакта колес перед началом движения K на оси, расположенной на малом колесе, подвешена (с возможностью вращения вокруг этой оси) спецлюлька, куда инкапсулирован космонавт. Какую максимальную перегрузку испытает космонавт?

_{в процессе испытаний все были пристегнуты ремнями безопасности, и никто не пострадал}

Задача № 118. Фантомная точка.

balu — Fri, 11 Jun 2010 19:21:50 +0000

На чертеже имеются две прямые, точка пересечения которых лежит за пределами чертежа, и произвольная точка P. Необходимо с помощью односторонней линейки построить прямую, проходящую через точку P и точку пересечения данных прямых.

Задача № 117. Одноразовый циркуль.

balu — Fri, 11 Jun 2010 19:07:24 +0000

На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Необходимо опустить из точки перпендикуляр на прямую с помощью односторонней линейки и циркуля, причем циркулем можно воспользоваться только один раз, для того чтобы нарисовать дугу/окружность или сделать засечки (с одним центром, не меняя радиус).
_{JH со ссылкой на фольклор НГУ}

Задача № 116. Опрокинутый рельс.

balu — Tue, 01 Jun 2010 19:10:40 +0000

В горизонтальной плите имеется лунка в форме полусферы радиусом R. Тонкий стержень длиной L лежит одним концом в лунке, второй конец торчит. Трение между стержнем и лункой отсутствует. Найти угол стержня к горизонту.

_{Форум СПбГУ}