Решение задачи №102

По неподвижному эллипсу катится без скольжения равный ему эллипс так, что в каждый момент времени они симметричны относительно общей касательной. Какие линии описывают фокусы движущегося эллипса?

Известно оптическое свойство эллипса. Если f1 и f2 — фокусы эллипса, то для любой точки M, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (f1M) равен углу между этой касательной и прямой (f2M). Отсюда следует, что отрезок, соединяющий фокус f1 неподвижного эллипса и фокус F2 подвижного эллипса, проходит через точку касания эллипсов M и равен большой полуоси эллипсов. То же можно утверждать и об отрезке f2F1. Следовательно, фокусы подвижного эллипса движутся по окружностям с центрами в фокусах неподвижного эллипса и радиусом, равным большой оси эллипсов.


Назад На главную