В треугольнике АВС АС=(АВ+ВС)/2. Докажите, что центр вписанной в треугольник АВС окружности, середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.
|
Пусть точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, точки А’ и C’ - середины сторон с и а соответственно. Продолжим биссектрису BL до пересечения с описанной окружностью в точке L’ и проведем отрезки CL’ и AL’. Пусть p=|CL’|, q=|LL’|, f=|BL|. Биссектриса CI делит биссектрису BL на отрезки LI/BI=CL/CB= 1/2, т.е. |IL|=f/3. (1) Углы BAC и BLC равны как опирающиеся на одну хорду CB: ^BAC=^BLC=α. Так же ^L’CA=^L’BA= β/2. Тогда ΔСLL’ подобен ΔABL. Следовательно, c/(c/2)=p/q, т.е. q=p/2. (2) Точка L’ делит пополам дугу AL’C, следовательно p=((a/2+c/2)/2)/cos(β/2)=(a+c)/(4cos(β/2)), (3) Тогда q=(a+c)/(8cos(β/2)) (4) Найдем длину биссектрисы f. По теореме косинусов для ΔBCL: (a/2)^2=f^2+a^2 – 2af*cos(β/2) (5) для ΔABL: (с/2)^2=f^2+с^2 – 2сf*cos(β/2) (6) Вычитая (5) из (6), имеем: ¼ (c^2-a^2)=c^2-a^2 – 2f(c-a)cos(β/2) и после преобразований: f=3(a+c)/(8cos(β/2)). (7) Следовательно, с учетом (1): |IL|=(a+c)/(8cos(β/2)). (8) Итак, из (1), (4) и (8) следует, что q=|IL| и |IL’|=q+|IL|=|BI|= ½ |BL’|. (9) Таким образом, при гомотетии с центром в вершине B и коэффициентом 1/2 ΔABC переходит в ΔA’BC’, описанная окружность ΔABC в описанную окружность ΔA’BC’, точка L’ в точку I, лежащую в силу (9) на описанной окружности ΔA’BC’, что и требовалось доказать. |