|
Мысль первая. Если предположить, что a+b=17m^3 (I) и при этом a^2-ab+b^2=n^3 (II) то не возникнет проблем со знаменателем дробей, т.е. искомые числа предстанут в виде a/(mn) и b/(mn) . Мысль вторая. Как сузить круг поиска? b=17m^3-a (IV) подставим это в (II) и придем к уравнению: 3*a^2-3*17*m^3*a^2+17^2*m^6-n^3=0 (V) отсюда a=(3*17*m^3 +- (12*n^3-3*17^2*m^6)^(1/2))/6 (VI) Из (VI) следует, что, (12*n^3-3*17^2*m^6) является квадратом натурального числа и, естественно, 12*n^3-3*17^2*m^6 > 0 значит, n > (17/2)^(2/3)*m^2 (VII) Кроме того, подставив (VI) в (IV), обнаружим, что a и b отличаются лишь знаком перед радикалом в (VI). Но у нас по условию a>0 и b>0,следовательно, 3*17*m^3 - (12*n^3-3*17^2*m^6)^(1/2) > 0 отсюда n < 17^(2/3)*m^2 (VIII) Итак, объединяя (VII) и (VIII), имеем ограничения для n: (17/2)^(2/3)*m^2 < n < 17^(2/3)*m^2 (IX) _____________________ Теперь, задаваясь натуральным m от 1 и далее, получаем пределы для поиска n: m=1, 4 < n < 7 m=2, 16 < n < 27 m=3, 37 < n < 60 ,,,,, Перебирая подобным образом пары m и n, скоро находим первую подходящую пару: m=19, n=2149, соответственно, a=104940 b=11663 - это наши числители, а знаменатель mn=40831, первая пара найдена: 104940/40831 и 11663/40831. Следующие пары получить легко, добавляя в числа m и n натуральные множители k и k^2 соответственно. Например, m=19*2=38, n=2149*4=8596 и получаем пару 839520/326648 и 93304/326648. Выбрав k=3, получим пару 2833380/1102437 и 314901/1102437. И так далее. Проверил вручную, в диапазоне 19 < m < 38, пар чисел, удовлетворяющих условиям, нет. Возникает вопрос, можно ли доказать, что для нашей задачи всегда m кратно 19, а n кратно 2149? |
