Решение задачи № 126
Суммарный объем двух кубиков равен 17. Не могли бы Вы указать их точные размеры?

Мысль первая.
Если предположить, что
a+b=17m^3 (I)
и при этом
a^2-ab+b^2=n^3 (II)
то не возникнет проблем со знаменателем дробей, т.е. искомые числа предстанут в виде
a/(mn) и b/(mn) .
Мысль вторая.
Как сузить круг поиска?
b=17m^3-a (IV)
подставим это в (II) и придем к уравнению:
3*a^2-3*17*m^3*a^2+17^2*m^6-n^3=0 (V)
отсюда
a=(3*17*m^3 +- (12*n^3-3*17^2*m^6)^(1/2))/6 (VI)
Из (VI) следует, что, (12*n^3-3*17^2*m^6) является квадратом натурального числа и, естественно,
12*n^3-3*17^2*m^6 > 0
значит,
n > (17/2)^(2/3)*m^2 (VII)
Кроме того, подставив (VI) в (IV), обнаружим, что a и b отличаются лишь знаком перед радикалом в (VI).
Но у нас по условию a>0 и b>0,следовательно,
3*17*m^3 - (12*n^3-3*17^2*m^6)^(1/2) > 0
отсюда
n < 17^(2/3)*m^2 (VIII)
Итак, объединяя (VII) и (VIII), имеем ограничения для n:
(17/2)^(2/3)*m^2 < n < 17^(2/3)*m^2 (IX)
_____________________
Теперь, задаваясь натуральным m от 1 и далее, получаем пределы для поиска n:
m=1, 4 < n < 7
m=2, 16 < n < 27
m=3, 37 < n < 60
,,,,,
Перебирая подобным образом пары m и n, скоро находим первую подходящую пару: m=19, n=2149, соответственно,
a=104940
b=11663
- это наши числители, а знаменатель mn=40831,
первая пара найдена:
104940/40831 и 11663/40831.
Следующие пары получить легко, добавляя в числа m и n натуральные множители k и k^2 соответственно. Например,
m=19*2=38,
n=2149*4=8596
и получаем пару 839520/326648 и 93304/326648.
Выбрав k=3, получим пару 2833380/1102437 и 314901/1102437.
И так далее.
Проверил вручную, в диапазоне 19 < m < 38, пар чисел, удовлетворяющих условиям, нет. Возникает вопрос, можно ли доказать, что для нашей задачи всегда m кратно 19, а n кратно 2149?


Назад На главную