Решение задачи № 19

В колодец опущены две тростинки, одна длиной 2 меры, другая - 3 меры. Тростинки скрещиваются на высоте 1 меры над дном колодца. Каков диаметр колодца?

Предисловие

С полной драматизма легендой задачи можно ознакомиться здесь Обсуждения и решения можно почитать здесь и в других интересных уголках сети.

Решение

Примем за истину умалчиваемые аспекты условия: колодец имеет форму прямого круглого цилиндра, обе тростинки расположены в вертикальной плоскости, содержащей диаметр колодца. Изобразим на чертеже сечение колодца этой плоскостью. Итак, АВ=2, |СD|=3, |FG|=1, d=|AC| – искомый диаметр колодца. Обозначим через k отношение |CF|/|AF|. Рассматривая подобные треугольники, найдем:
|BC|=k+1, |AD|=(k+1)/k. Тогда
|AC|2 = 9 - ((k+1)/k)2           (1)
|AC|2 = 4 - (k+1)2           (2)
Вычитая (2) из (1), получим
((k+1)/k)2 - (k+1)2 = 5
или, после преобразований,
k4+2k3+5k2-2k-1=0
Говорят, можно попытаться решить «в лоб» уравнение четвертой степени и найти корень k=0,576128711, соответственно, диаметр колодца d=1,231185723 , но мы не станем торопиться, поскольку существуют сомнения в том, что древние египтяне умели решать уравнения четвертой степени, а наша задача состоит в поиске способа геометрического построения отрезка d, который потом легко измерить в долях имеющихся у нас, египтян, мер. Зафиксируем лишь, что
|AD|/|MD|=|CB|/|CN|=|CB|.          (3)
Введем обозначения p=|AD|, q=|BC| и перепишем (1) и (2) в виде
d2=9-p2
d2=4-q2
Отсюда p2-q2=5.           (4)
Кроме того, запишем (3) в виде q=p/(p-1)           (3')
Попробуем выяснить геометрический смысл выражения (4). Перепишем его в виде
(p + q)*(p - q)=(50,5)2          (5)
Построим две окружности радиусами 2 и 3 с центром в точке С. Из произвольной точки D окружности радиуса 3 проведем касательную DW к окружности радиуса 2. Легко установить, что длина касательной |DW|=50,5.
Через произвольную точку T на окружности радиуса 2 проведем из точки D секущую. Согласно теореме о касательной и секущей, наверняка известной египтянам, |DE|*|DT|=|DW|2
Опустим из центра окружностей перпендикуляр CA на хорду ET, проведем прямую CB || DT так, что EB || AC.
Заметим, что |AE|=|AT|=|BC|, |DE|=|AD|-|AE|=p-q и |DT|=|AD|+|AT|=p+q.
Поскольку |СD|=3, |AB|=2, наш рисунок представляет собой модель колодца Лотоса, где при любом положении точки Т на дуге WTU выполняется соотношение (5). Остается найти такое положение точки Т, при котором FG=1.
Вернемся к соотношению (3). Поскольку |MD|=|AD|-1, можно переписать уравнение (5) в виде:
(p + p/(p-1))*(p – p/(p-1))=5,
что равносильно
(p2-5)(p-1)2 – p2=0
или
(((p2-5)0,5)*(p-1) – p)*(((p2-5)0,5)*(p-1) + p) = 0
Рассмотрим первый сомножитель:
((p2-5)0,5)*(p-1) – p=0
(p2-5)0,5)= p/(p-1),          (6)
Из выражения (6), с учетом (3) и (3'), следует, что существует прямоугольный треугольник с гипотенузой p и катетами 50,5 и q=p/(p-1).
Как же его построить?
Проведем вертикально прямую AQ, горизонтально – отрезок |AP|=50,5.
На высоте 1 над прямой AP параллельно ей проведем горизонталь MN. Отложим на линейке отрезок длиной 1 (на тростинке длиной 3 меры отложим отрезок длиной в 1 меру). Через точку P проведем прямую PЕ так, чтобы один из концов отложенного единичного отрезка линейки лежал на прямой AQ (точка Е), а другой - на прямой MN (точка G’). Тогда
|PE|/|PG’|=|AE|/|F’G’|=|AE|/|AM|=|AE|, т.е.
|PE|/(|PE|-1)=|AE|,
кроме того, |EP|2-|EM|2=|AP|2=5,
что соответствует выражениям (3’) и (6) для p и q.
Итак, |PE|=p=(k+1)/k, |AE|=q=k+1.
С центром в найденной точке Е раствором циркуля 2 сделаем засечку C на прямой AP.
Отрезок |АС| равен искомому диаметру d колода Лотоса. Проведем вертикаль через точку С и раствором циркуля 3 с центром в точке А сделаем на ней засечку D’.
Убедимся в том, что |СD’|=|PE|, и в том, что прямая AD’ (тростинка длиной 3) проходит через точку пересечения EC (тростинки длиной 2) и прямой MN (поверхности воды на высоте 1 над дном колодца).

Послесловие

Возможно, кто-то возразит, что искусственный приём с откладыванием единичного отрезка на линейке и использованием её в качестве циркуля с неопределенным заранее раствором при построении отрезка PE не является в строгом смысле классическим построением с помощью циркуля и линейки. Однако, думаю, что древнему египтянину, замурованному в подземелье наедине с колодцем Лотоса, проще было изобрести и применить сей нехитрый комбинированный приём, чем метод последовательных приближений в геометрических построениях, предлагаемый рядом авторов при реконструкции древнеегипетского решения этой задачи.
Тем не менее, хоть мы и нашли здесь «чисто геометрический», скажем, школьный, способ построения колодца Лотоса, не будем обольщаться и претендовать на форменные шорты египетского жреца. Необходимо отметить существенный недостаток этого метода: искомую величину можно измерить лишь с точностью, допускаемой толщиной линий, масштабом и точностью исполнения чертежа. Думается, построением на листе ватмана формата А0 с использованием метровой линейки, взяв за одну меру 30 см, проводя линии толщиной 0,1 мм, можно, с учетом всех погрешностей построения, определить величину d с точностью +/- 0,5 мм, т.е. d +/- 0,14%. Возможно, замурованный кандидат в жрецы мог добиться аналогичной или большей точности построения на каменном полу с помощью острого ножа и засечек на тростинках? Но, ознакомившись поближе с геометрическими свойствами египетских пирамид, легко уяснить, сколь искусными математиками и астрономами были древние египтяне. К примеру, основание пирамиды Хеопса представляет собой почти идеальный квадрат (максимальное отклонение 3 минуты 33 секунды) со сторонами около 230 метров (северная 230.1, западная и восточная 230.2, южная 230.3), т.е. погрешность (неизвестно, кстати, случайна ли она) линейных размеров составляет около +/- 0,043%, а отношение длины основания пирамиды к ее высоте, разделенное пополам, дает число "пи" с точностью до шестого знака. Что и говорить о вогнутости отполированных до зеркального блеска граней пирамиды – какую форму они имели, - сегмента сферы, цилиндрического параболоида или параболоида вращения? Таким образом, если задача о колодце Лотоса действительно являлась для жрецов Египта тестом на решение прикладных задач архитектуры, то метод решения должен был позволять не только построить искомый отрезок, но и вычислить его длину с достаточно большой точностью, и в таком случае следует признать преимущество метода последовательных приближений с возможностью на каждом шаге цикла геометрических построений всё более точно вычислять искомую величину по единому алгоритму.

Занимательный вопрос для любителей: по какой кривой (кривым) перемещаются точки B и B’ при движении точки Т по дуге WTU?


Назад На главную