Решение задачи №2

Можно ли эллипс с эксцентриситетом е установить на плоскости, наклоненной под углом w к горизонту, так, что эллипс останется неподвижен?

Задача впервые опубликована мной на арбузном форуме, там же выложено и решение, которое привожу здесь без изменений.



Для равновесия эллипса в произвольном положении необходимо, чтобы его центр тяжести O располагался на одной вертикали с точкой опоры, т.е. с его точкой касания N наклонной плоскости.



Видно, что угол между нормалью эллипса в точке N и радиусом ON равен углу w наклона плоскости. В системе координат, привязанной к полуосям эллипса а и b, найдем угол q наклона касательной к эллипсу в точке N:

или в параметрической форме

.
Тогда угол наклона нормали в точке N

.
Угол f радиуса ON

.
Угол между прямыми ON и NP найдем по формуле

.
Приравняв найденное тангенсу угла наклона плоскости w, получим:
.
Отсюда

.
Соответственно, эллипс нужно установить на наклонную плоскость так, чтобы его большая полуось составляла с наклонной плоскостью угол
.
Т.е. взависимости от сочетания e и w возможны три ситуации:

1) при дискриминанте

имеем два решения - два положения равновесия эллипса;
2) при D=0 - единственное положение равновесия
;
3) при D<0 - положение равновесия отсутствует, т.е. эллипс будет скатываться при любом исходном положении.
Итак, условие наличия решения (решений):

или

Устойчивость найденных положений равновесия хотелось найти, исследовав функцию высоты центра эллипса над стационарной горизонтальной плоскостью, например, вида |HO|(t), при его качении, однако, здесь принимает участие длина дуги эллипса, выражаемая эллиптическим интегралом, возня с которым хороша при решении прикладной задачи, а красивое решение в общем виде не просматривается. Или просматривается? Найти бы искусственный прием, который позволит не брать длину дуги в расчет… Например, рассмотреть случай отсутствия трения... Есть, над чем подумать, не правда ли?

Назад На главную