Задача № 105. Замечательное свойство биссектрисы.

Докажите, что в любом треугольнике биссектриса любого угла делит пополам угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведенными из той же вершины, что и биссектриса.
«Квант», 1999, №3.

Один комментарий на “Задача № 105. Замечательное свойство биссектрисы.”

  1. Николай сказал:

    Пусть дан треугольник ABC, высота BD, радиус описанной окружности BO (O-центр окружности).
    Опишем вокруг треугольника окружность. Продолжим высоту BD до пересечения с нею в точке E. Проведём диаметр BF. Ключевой момент: поскольку BE перпендикулярен EF (свойство вписанного угла), то EF параллелен стороне AC. Параллельные прямые отсекают на окружности равные хорды, поэтому углы ABE и CBF равны как опирающиеся на равные дуги. Далее: биссектриса BL делит угол ABC на два равных. Однако углы ABE и CBF равны. Отсюда следует утверждение задачи.

Оставить комментарий