Задача №242. Окружные диагонали ромба
Диагональ делит ромб со стороной а на два треугольника, в которые вписаны окружности. Вторая диагональ также делит ромб на два треугольника и в них тоже вписаны окружности. При каком отношении диагоналей сумма площадей всех четырех окружностей будет наибольшей?
Е. Скляревский
марта 24, 2016 - 14:32
малая диагональ — d; большая — D; сторона — а; площадь S = dD/2
для окружностей, которые касаются малых диагоналей r = S/(2a+d)
для двух других R = S/(2a+D)
Площадь всех четырёх окружностей 2pi(r^2 + R^2) = pi Dd (1/(2a+d)^2 + 1/(2a+D)^2)=
Если острый угол ромба 2х, то d = 2a sin x; D = 2a cos x, то есть площадь окружностей, как функция от х
pi 4 sin x cos x (1/(2 + sin x)^2 + 1/(2 + cos x)^2)=
4 pi sin x cos x (8 + 4 (sin x + cos x) + 2 ) /((2+sin x)(2+cos x))^2 =
Производная даже и не воспринимается, попробуем по преобразовывать
8 pi sin x cos x (4 + 2(sin x + cosx) + 1)/(4 + 2(sin x + cos x) + sin x * cos x)^2
sin x + cos x = m
sin x cos x = n
m^2 — 2n = 1
n = (m^2 — 1)/2
Поскольку ищем производную, чтобы к нулю приравнять, коэффициенты отбрасываем
16pi (m^2 — 1)(4 + 2m+1)/(7 + 4m + m^2 )^2
dS/dx = dS/dm * dm/dx
dS/dm = (2 (m^4+8 m^3+32 m^2+40 m+3))/(m^2+4 m+7)^2
В числителе ур-е четвёртой степени и при m>0 корней явно не имеет.
Значит в 0 превращать производную может только dm/dx
sin x = cos x, а поскольку острый угол ромба обозначался, как 2х, то ромб является квадратом.