Задача №242. Окружные диагонали ромба

Диагональ делит ромб со стороной а на два треугольника, в которые вписаны окружности. Вторая диагональ также делит ромб на два треугольника и в них тоже вписаны окружности. При каком отношении диагоналей сумма площадей всех четырех окружностей будет наибольшей?

Е. Скляревский

Один комментарий на “Задача №242. Окружные диагонали ромба”

  1. Василий Котеночкин сказал:

    малая диагональ — d; большая — D; сторона — а; площадь S = dD/2
    для окружностей, которые касаются малых диагоналей r = S/(2a+d)
    для двух других R = S/(2a+D)
    Площадь всех четырёх окружностей 2pi(r^2 + R^2) = pi Dd (1/(2a+d)^2 + 1/(2a+D)^2)=
    Если острый угол ромба 2х, то d = 2a sin x; D = 2a cos x, то есть площадь окружностей, как функция от х
    pi 4 sin x cos x (1/(2 + sin x)^2 + 1/(2 + cos x)^2)=
    4 pi sin x cos x (8 + 4 (sin x + cos x) + 2 ) /((2+sin x)(2+cos x))^2 =
    Производная даже и не воспринимается, попробуем по преобразовывать
    8 pi sin x cos x (4 + 2(sin x + cosx) + 1)/(4 + 2(sin x + cos x) + sin x * cos x)^2
    sin x + cos x = m
    sin x cos x = n
    m^2 — 2n = 1
    n = (m^2 — 1)/2
    Поскольку ищем производную, чтобы к нулю приравнять, коэффициенты отбрасываем
    16pi (m^2 — 1)(4 + 2m+1)/(7 + 4m + m^2 )^2
    dS/dx = dS/dm * dm/dx
    dS/dm = (2 (m^4+8 m^3+32 m^2+40 m+3))/(m^2+4 m+7)^2
    В числителе ур-е четвёртой степени и при m>0 корней явно не имеет.
    Значит в 0 превращать производную может только dm/dx
    sin x = cos x, а поскольку острый угол ромба обозначался, как 2х, то ромб является квадратом.

Оставить комментарий