Архив на категорию ‘задачи на доказательство’

Задача № 258. Заплыв точки по дуге

Четверг, июня 23, 2016

Две окружности равного радиуса с центрами в точках О и О1 имеют общую хорду АВ. Из точки О проведен в произвольном направлении отрезок, пересекающий хорду AB, затем пересекающий окружность O в точке С и окружность О1 в точке D. Пусть М – середина отрезка CD. Доказать (или опровергнуть), что геометрическим местом точек M является дуга окружности.
Задача 258 Заплыв точки по дуге ГМТ

Задача № 245. Пересечение прямых в квадрате

Суббота, ноября 30, 2013

Вокруг квадрата ABCD описана окружность с центром О, на дуге AB (меньшей) отмечена точка E, прямая EO пересекает окружность в точке F, середины отрезков CE и BC — точки K и L соответственно. Доказать: диагональ квадрата AC, отрезки FK и DL пересекаются в одной точке.

Н. Москвитин

Задача №234. Тайное равенство

Среда, июня 19, 2013

В окружности проведён диаметр AB и хорда CD, пересекающая его в точке E под данным углом. Из точки A опущен перпендикуляр AK на CD, а из точки B — перпендикуляр BL на этот же отрезок.
Доказать: величина СE^2+ED^2+2(LE*KE-BL*AK) не зависит от выбора хорды CD.

Николай Москвитин

Задача №230. Две суммы обратных величин.

Четверг, мая 23, 2013

Пусть I – центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, X и Y – точки касания окружности сторон AC и BC соответственно. Через I проведена прямая g, пересекающая стороны AC, BC и окружность в точках K, L, M, N (в таком порядке слева направо). P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точек X и Y на прямую g (точки P и Q находятся внутри окружности).
Доказать, что 1/KL+1/QM=1/MN+1/PL.

dxdy.ru

Задача №229. По следам 60 градусов.

Среда, мая 22, 2013

В треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA1 и CC1. Срединный перпендикуляр к отрезку A1C1 пересекает прямую AC в точке E. Доказать, что треугольник A1C1E равносторонний.

Задача №228. Шестьдесят маленьких градусов.

Среда, мая 22, 2013

В треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA_1 и CC_1. Серединный перпендикуляр к отрезку A_1C_1 пересекает прямую BC в точке D. Доказать: AC=CD.

Николай Москвитин

Задача №212. К вопросу о паровозах и велосипедах

Среда, ноября 21, 2012

На горизонтальной прямой установлены в вертикальной плоскости, содержащей данную прямую, три окружности радиусов R1, R2 и R3, имеющие общую точку касания между собой и с прямой. Данную точку помечают на прямой как A, на окружностях соответственно A1, A2 и A3. В некоторый момент времени все три окружности начинают катиться по прямой без скольжения в одну сторону с одинаковой для всех трех окружностей и постоянной угловой скоростью w. Доказать, что при этом в любой момент времени точки A, A1, A2 и A3 находятся на одной прямой. Найти зависимость наклона этой прямой к горизонту от времени.

Задача №211. Примечательная точка в четырехугольнике

Среда, ноября 21, 2012

Две противолежащие стороны четырёхугольника равны и суммы квадратов его противолежащих сторон также равны.
Доказать, что две равных стороны этого четырёхугольника будут видны под прямым углом из точки, равноудалённой от концов одной диагонали на одно расстояние и от концов другой — на другое.

Николай Москвитин

Задача №210. Проходим через середину

Среда, ноября 21, 2012

Вокруг треугольника ABC описана окружность, и в ней проведён диаметр AD; в треугольнике проведена высота BE, из B проведён перпендикуляр BF на AD.
Доказать: отрезок EF проходит через середину стороны BC.

Николай Москвитин

Задача №207. Созвездие Южный Крест

Воскресенье, октября 7, 2012

Диагонали произвольного вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Доказать, что AB*BC*PD=AD*DC*PB.

Задача №206. Сестра точки М

Среда, октября 3, 2012

В треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1,CC1, на окружности, описанной около треугольника ABC, отмечена произвольная точка M (при условии, что она не принадлежит ни одной прямой, содержащей высоту; в последнем случае одна из окружностей вырождается в прямую).
Доказать: окружности, описанные около треугольников MAA1, MBB1 и MCC1, пересекаются в одной точке.

Николай Москвитин

Задача №202. Пинашествие

Понедельник, сентября 10, 2012

Один из углов треугольника равен pi/6. Доказать, что отрезки, соединяющие концы противолежащей ему стороны с центром окружности Эйлера данного треугольника, перпендикулярны.

Николай Москвитин

Задача №201. Примечательный четырехугольник

Воскресенье, сентября 2, 2012

В треугольнике ABC проведены чевиана BD, описанные окружности треугольников ABD и CBD с центрами O1 и O2 соответственно, высота BE. Доказать: площадь четырёхугольника EO1BO2 равна половине площади треугольника ABC.

Николай Москвитин

Задача № 199. Теорема ван Шутена.

Пятница, июля 20, 2012

На дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC расположена точка M. Доказать, что отрезок MA=MB+MC.

Задача № 197. Паутина в трапеции

Вторник, июля 3, 2012

На основании AD равнобедренной трапеции ABCD отмечена середина E; вокруг треугольника ABE описана окружность, пересекающая CE в точке F, BF продолжен до пересечения с прямой AD в точке L, около EFL описана окружность с центром Ο. Диаметр её FF1 пересекает прямую AD в точке K, AF пересекает линию симметрии трапеции в точке J. Доказать: JK || BF.

Николай Москвитин