Архив на месяц ноября, 2009

Задача № 88. Сфера в кубе.

Воскресенье, ноября 29, 2009

На трех попарно скрещивающихся ребрах куба отмечены точки N, M, Q. Построить сечение куба плоскостью MNQ и сферу, касающуюся трех граней куба и секущей плоскости (найти центр и радиус сферы). Сколько может быть таких сфер?

Задача № 87. Носочки тянуть!

Суббота, ноября 28, 2009

Мастер спорта международного класса по спортивной гимнастике Бруно Альбертович Циглер, разучивая с подопечными на тренировке по акробатике новый элемент, для иллюстрации правильного положения головы в полёте прикрепил за ухом ручку-указку с лазерным лучом так, чтобы луч лазера совпадал с направлением взгляда прямо перед собой. Итак, разбег, рандат – фляк – сальто назад прогнувшись с пируэтом в 360 градусов, блестяще исполненное приземление без доскока и лишних шагов. Акробатическая дорожка пролегла вдоль средней линии спортзала, представляющего собой параллелепипед. Попробуйте изобразить траекторию следа лазерного луча на внутренней поверхности спортзала при выполнении сальто.

Задача № 86. «Но в животе у Крокодила темно и тесно, и уныло…»

Суббота, ноября 28, 2009

Ёмкость автотопливозаправщика представляет собой цилиндр, имеющий в поперечном сечении эллипс с полуосями a и b. Ёмкость заполнена частично, уровень топлива h от дна ёмкости. Какую кривую огибает уровень топлива на поворотах? Какую кривую огибает уровень топлива при разгоне и торможении на прямолинейных участках дороги, если длина ёмкости l ? (Волнением топлива пренебрегаем, считаем поверхность плоской).

Задача № 85. Полувелоход и восьмёрка.

Четверг, ноября 26, 2009

Можно ли на одноколёсном велосипеде проехать точно по восьмерке, образованной двумя касающимися кругами, с постоянной скоростью?

Задача № 84. Кораблекрушение.

Вторник, ноября 24, 2009

Тренируясь на совершенно круглом озере Кругл, юные серфингисты Ваня и Света настолько отдались азарту скорости, что не заметили друг друга за парусами и столкнулись на полном ходу.
— Ну, привет! Ты откуда?
— Так я из Рыбачьего в Плотинино прошла уже километра три, еще с километр и была бы на месте! А ты?
— А я с эллинга в Слимское шёл, ну около часа уже, еще бы полчаса, и там!
Оценив повреждения шверта Вани и степсового колодца Светы, а также невзаимозаменяемость, синяки и шишки, пришли к выводу о невозможности буксировки друг друга, уложили вооружение на импровизированный катамаран и, предавшись весёлым рассуждениям о превратностях моряцкой жизни, установили, что, пусть и движутся они без парусов в 10 раз медленнее Вани под парусом, всё равно через час ветер, дующий с середины озера, прибьёт их в аккурат к Скалистому берегу.
Каков же диаметр озера Кругл?

Задача № 83. Кольцо на нити.

Понедельник, ноября 23, 2009

На вертикально установленной доске в точках A и B закреплены концы нити длиной l > AB. Отрезок AB образует острый угол a с вертикалью. Надетое на нить кольцо в состоянии равновесия находится в точке C. Найти отношение, в котором кольцо делит нить. Массой нити пренебречь. (Рассмотреть два варианта: 1) кольцо свободно скользит по нити; 2) кольцо закреплено на нити.)

Из коллекции validolum

Задача № 82. Прикосновение.

Понедельник, ноября 16, 2009

Три окружности имеют две общие касательные. Окружность среднего радиуса также касается двух других. Радиусы окружностей большего и меньшего радиусов равны 1 и 9 соответственно. Найти радиус окружности среднего радиуса и угол между касательными.

Альхамов Р.Р.

Задача № 81. Касательная и секущая.

Вторник, ноября 3, 2009

Окружности радиуса R с центром в точке O касается внешним образом окружность единичного радиуса с центром в точке Q. Из точки Q проведены касательная QT к окружности радиуса R и секущая, пересекающая её в точках A и B. Секущая QB пересекает радиус OT в точке K. Длина отрезка |AK|=p. Найти длину отрезка KT.

Задача № 80. Из пустого в порожнее.

Воскресенье, ноября 1, 2009

Имеются две ёмкости для воды кубической формы (тонкостенные кубы без верхней крышки), их объёмы 12 литров и 20,736 литров. Также имеется ровная горизонтальная поверхность и неограниченный запас воды. Требуется переливаниями получить в одном из кубов ровно 7 литров воды.

Из коллекции Cornered Rat