Архив на месяц марта, 2011

Задача № 172. Вписать 4 окружности.

Четверг, марта 31, 2011

Отрезками прямых, исходящими из вершин равностороннего треугольника, разбить его на четыре треугольника так, чтобы радиусы вписанных в них окружностей были равными.

Forum Geometricorum. Volume 5. 2005

Задача № 171. Две замечательные формулы для треугольника.

Среда, марта 30, 2011

Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .

«Полином», №1, 2010

Задача № 170. Площадь имени точки P.

Суббота, марта 26, 2011

На стороне АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) как на диаметре построена окружность, пересекающая АВ в точке Е. Медиана АD и отрезок СЕ пересекаются в точке Р. Найти площадь треугольника АВС, если РС=7, РЕ=3.

webmath.ru

Задача № 169. Замечательное свойство равнобочной трапеции.

Понедельник, марта 21, 2011

Доказать, что если равнобочная трапеция имеет боковые стороны длиной a, основания b и c, диагональ d, то d^2=a^2+bc.
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer

Задача № 168. Игуаны… павианы… чевианы!

Пятница, марта 18, 2011

Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что cheviana_ravnostoronnego_treugolnika

университетский фольклор

Задача № 167. Два, три, четыре… и точка P.

Вторник, марта 15, 2011

На плоскости дана точка P. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого отстоит от точки P на расстояние 2, вторая — на 3, а третья — на 4 (выбранных единиц длины).

H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer

Задача № 166. Переменчивый ролик.

Вторник, марта 15, 2011

Цилиндрический ролик длиной L и диаметром D катится по горизонтальной плоскости без проскальзываний. В некоторый момент времени диаметр одного из оснований цилиндра начинает меняться пропорционально углу поворота ролика вокруг своей оси (при этом прямолинейность образующей сохраняется, т.е. ролик становится усеченным конусом) и уменьшается за два оборота ролика вокруг своей оси от D до нуля. Какую траекторию опишет на плоскости точка касания малого основания ролика к плоскости?

Задача № 165. Ку или возвращение на Землю.

Четверг, марта 10, 2011

Кубики можно складывать в столбики. Об этом любой пацак знает. Добрые четлане конечно вернут Вас на Землю, вот только если задачку решите: перед Вами 15 одинаковых с виду кубиков. Если индикатор направить на столбик пацакских кубиков, на нём загорится зеленая лампочка, но если в столбике есть хоть один четланский кубик, индикатор засветится оранжевым. Известно, что среди 15 кубиков два четланские, а остальные пацакские. Четлане предлагают найти оба четланских кубика, использовав индикатор не более 7 раз. И Вы дома. На Земле. Ну, а не найдете, сами понимаете — транфлюкатор…

старинная четланская загадка