Задача № 167. Два, три, четыре… и точка P.
На плоскости дана точка P. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого отстоит от точки P на расстояние 2, вторая — на 3, а третья — на 4 (выбранных единиц длины).
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer
мая 11, 2011 - 12:49
Из точки Р проводим произвольную прямую
На ней откладываем, к примеру 4 единицы, имеем вершину А будущего треугольника.
В точку Р ставим циркуль с раствором , скажем 3 единицы и рисуем этим раствором дугу, а из точки A рисуем дугу с радиусом равным стороне треугольника. (как сторону нашли — чуть позднее)
Пересечение дуг даст точку В.
В точку Р ставим циркуль с раствором 2 единицы, рисуем дугу, из точки В рисуем дугу
с радиусом равным стороне треугольника. Пересечение дуг даст точку В.
Вначале придётся посчитать длину стороны аналитически
Отрезки, соединяющие Р с вершинами, делят равносторонний треугольник на 3 треугольника
АВР , АСР и ВСР. Обозначим сторону равностороннего треугольника за икс и приравняем сумму площадей треугольников АВР , АСР и ВСР к площади равностороннего треугольника
Площадь равностороннего понятно, как ищется, остальные по Герону
р1, р2, р3 — полупериметры
S1, S2, S3 — площади
p1 = (5+x)/2
4S1 = sqrt((5+x)(x-1)(x+1)(5-x))
p2 = (7+x)/2
4S2 = sqrt((7+x)(x-1)(x+1)(7-x))
p3 = (6+x)/2
4S3 = sqrt((6+x)(x-2)(x+2)(6-x))
S1 + S2 + S3 = x^2 sqrt(3)/4
sqrt((25-x^2)(x^2-1)) + sqrt((49-x^2)(x^2-1)) + sqrt((36 — x^2)(x^2 — 4)) = x^2 sqrt(3)
Крибле крабле бумс x = SQRT((29+9*SQRT(5))/2)
Строить уже вполне реально
Икс будет равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами sqrt(29/2) и
sqrt(9sqrt(5)/2)
Отрезок sqrt(29) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 и 2
Поделить на sqrt(2) — все равно, что умножить на
sqrt(2)/2
Строим заданный отрезок, делим пополам, вверх из середины пускаем перпендикуляр равный половине отрезка, соединяем вершину перпендикуляра с концом отрезка. Получили первоначальный отрезок, делённый на корень из двух Один катет построили.
У второго наиболее проблематично sqrt(sqrt(5))
sqrt(5) — гипотенуза треугольника с катетами 2 и 1
Возьмём отрезок (sqrt(5) + 1)/2 в качестве гипотенузы, а отрезок (sqrt(5) — 1)/2 как катет.
Построим из них прямоугольный треугольник, получится второй катет sqrt(sqrt(5))
Отложим его 3 раза, поделим на корень из двух, получается второй катет у искомого треугольника.
Строим прямоугольный треугольник, гипотенуза — сторона равностороннего.
сентября 14, 2011 - 01:39
Если очень тщательно подойти к построению, то выяснится, что стороны у равностороннего треугольника не совсем равны пяти и отталкиваться от прямоугольника не совсем верно, т.к. он должен быть не совсем прямым. Или ошибаюсь?
ноября 9, 2011 - 16:22
не понял. строим же не 5, а SQRT((29+9*SQRT(5))/2)
Можно по разному строить, но то, что я написал, вроде нормально
Не претендуя на точности в сантиметрах
http://saveimg.ru/show-image.php?id=9baf1319058f57cc372783f5f5571df5