В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, пересекающиеся в точке H. G — середина стороны AB. Прямые AB и DE пересекаются в точке F. Докажите, что прямые CF и GH перпендикулярны.
dxdy.ru
Около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. В треугольнике проведены все высоты. Точка их пересечения F. Высота CE продолжена до пересечения с данной окружностью в точке G. Около треугольника GBF описана окружность. Доказать, что высота AD является касается второй окружности в точке F.
Н. Москвитин
Меньшее основание BC трапеции ABCD относится к большему основанию AD как 1:2. В трапеции проведена высота DE к боковой стороне AB.
Доказать: CE=CD
Н. Москвитин
На окружности радиуса R отмечены последовательно точки A, B, C, D, M. На дугу AB опирается угол α, на дугу BC — угол β, на дугу CD — угол γ. Ломаную вдоль хорд ABCD выполнили из проволоки постоянного сечения и установили точкой C на рычажные весы V. Если α и β известны, при каком угле γ проволока будет находиться в равновесии? Зависит ли γ от R?
На отрезке AG произвольно выбрана точка D и на полученных отрезках как на сторонах построены квадраты ABCD и DEFG с вершинами по одну сторону от отрезка. Доказать, что середина отрезка BF лежит на диагонали одного из квадратов и на продолжении диагонали другого.
Н. Москвитин
На стороне остроугольного треугольника обнаружить такую точку M, из которой луч света, пущенный под некоторым углом, отразившись последовательно от двух других сторон треугольника, вернулся бы в исходную точку M.
