«
»

Задача № 156. Принесли его домой, оказался он… прямой!

В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, пересекающиеся в точке H. G — середина стороны AB. Прямые AB и DE пересекаются в точке F. Докажите, что прямые CF и GH перпендикулярны.

dxdy.ru

Эта запись опубликована Четверг, января 27, 2011 в 02:47 и находится в категории: задачи на доказательство, треугольник. Вы можите читать эту запись через RSS 2.0 поток. Вы также можите оставить комментарий, или поставить trackback со своего сайта.

2 Комментарев на “Задача № 156. Принесли его домой, оказался он… прямой!”

  1. Николай сказал:
    августа 29, 2011 - 22:38

    27,28 и 29 решал я эту задачу 🙂
    Во-первых, заметим, что окружности, описанные около треугольников CDE и IHG (где I-основание высоты CI), пересекаются на прямой CG (перпендикуляр из точки H к прямой CG единственный, а HK (где K-точка пересечения этих окружностей)перпендикулярен CG по свойству угла, опирающегося на диаметр).
    Во-вторых, точки E,G,I,D лежат на одной окружности по известной теореме об окружности девяти точек. Следовательно, прямые KH,ED и AB как содержащие радикальные оси, пересекаются в одной точке, именно: F. (свойство радикальных осей трёх окружностей, имеющих по две общие точки одна с другой).
    Рассмотрим треугольник CFG. CI и FK пересекаются по доказательству в точке H и являются его высотами. Тогда H-ортоцентр CFG, следовательно, CF перпендикулярен GH.
    PS Всё решал самостоятельно. Получил огромное удовлетворение. Спасибо за интересную задачу!

  2. Дмитрий сказал:
    июня 1, 2012 - 02:11

    это возможно только в прямоугольном треугольникн тоесть где орто центр с вершиной прямого угла совпадает как доказать незнаю давно не решал вообше ничего, но чутье подсказывает что преводить нужно к этому с уважением

Оставить комментарий