С помощью циркуля и линейки построить четырехугольник со сторонами 2, 3, 4, 5 и углом между диагоналями 60°. Доказать, что центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах 2 и 4 с внешней стороны четырехугольника и на сторонах 3 и 5 с внутренней стороны четырехугольника, лежат на одной прямой.
Прямые, проведенные через точку А, касаются окружности с центром О в точках В и С. D — точка пересечения отрезка АО с окружностью. Точка X — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на CD. Y — середина отрезка BX. Z — точка пересечения DY с окружностью. Доказать, что угол AZC прямой.
Форум MathLinks
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине С проведена высота CD. Некоторая точка K в плоскости треугольника находится от вершины A на расстоянии, равном AC, при этом точка O является центром окружности, проходящей через точки A, B, K. Докажите, что отрезок DK перпендикулярен AO.
Блог Синаджексона
ABC – остроугольный треугольник. На стороне AB как на диаметре построили окружность, которая пересекает высоту CC′ и её продолжение в точках M и N. Окружность, построенная на диаметре AC пересекает высоту BB′ и её продолжение в точках P и Q. Докажите, что точки M,N,P,Q лежат на одной окружности.
Национальная математическая олимпиада США, 1990
