Задачи по геометрии

Один из углов треугольника равен pi/6. Доказать, что отрезки, соединяющие концы противолежащей ему стороны с центром окружности Эйлера данного треугольника, перпендикулярны.

_{Николай Москвитин}

В треугольнике ABC проведены чевиана BD, описанные окружности треугольников ABD и CBD с центрами O1 и O2 соответственно, высота BE. Доказать: площадь четырёхугольника EO1BO2 равна половине площади треугольника ABC.

_{Николай Москвитин}

В треугольник ABC вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами BC, CA и AB соответственно. Одной линейкой постройте точку K, в которой окружность, проходящая через вершины B и C, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

_{А.Мякишев}

На дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC расположена точка M. Доказать, что отрезок MA=MB+MC.

Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

На основании AD равнобедренной трапеции ABCD отмечена середина E; вокруг треугольника ABE описана окружность, пересекающая CE в точке F, BF продолжен до пересечения с прямой AD в точке L, около EFL описана окружность с центром Ο. Диаметр её FF1 пересекает прямую AD в точке K, AF пересекает линию симметрии трапеции в точке J. Доказать: JK || BF.

_{Николай Москвитин}

Окружность, построенная на боковой стороне BC равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает высоту AD в точке E. Найти CE, если AC=2.

_{Antonio Gutierrez, gogeometry.com}

В равностороннем треугольнике ABC окружность O касается стороны AC в точке T, а стороны AB и BC пересекает в точках D,E и F,G соответственно. Доказать, что AT + BD + BE = CT + BF + BG.

_{Ajit Athle, gogeometry.com}

В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1, ортоцентр H, центр окружности Эйлера E, центр описанной окружности треугольника AHB — O1. Доказать: С, E, O1 лежат на одной прямой.

_{Николай Москвитин}

Перед нами бумажный равносторонний треугольник. Лицевая сторона красного цвета, задняя — зеленого. Согнув треугольник так, чтобы вершина его легла на противоположную сторону, увидим, что не закрытыми зеленым цветом останутся два красных треугольника. Как с помощью циркуля и линейки построить такую линию сгиба, чтобы площади двух оставшихся красных треугольников относились как k? Какие значения может принимать k?

_{по следам smekalka.pp.ru/forum/}

В треугольнике ABC окружность, построенная на диаметре AC, пересекает высоту BD в точке F, а окружность, построенная на диаметре AB, пересекает высоту CE и её продолжение в точках G и H соответственно. Угол CHF равен 12°. Найти величину угла AGF.

_{gogeometry.com}

Через середину одной из сторон треугольника провести прямую, делящую периметр треугольника пополам.

_{MATH WORDS}

В треугольнике ABC провести такой отрезок DF, что точка D лежит на AB, F на BC, и |AD|=|DF|=|FC|.

_{Джим Лой}

Назовем диаметром выпуклого многоугольника отрезок, отсекаемый его сторонами на прямой, проходящей через центр тяжести многоугольника. Проведем из центра тяжести луч в произвольном направлении. Теперь, проводя прямые под возрастающим с неким шагом углом к этому лучу, будем измерять полученные диаметры в диапазоне угла от 0 до Пи. Найдем средний арифметический диаметр. Устремив угловой шаг к нулю, найдем точное значение этого среднего арифметического диаметра. Можно ли вывести формулу для вычисления этого диаметра для треугольника со сторонами a, b, c? Для четырехугольника со сторонами a, b, c, d? Интересно было бы найти соотношение между таким средним диаметром треугольника со сторонами a, b, c и диаметрами его вписанной и описанной окружностей.

Через произвольно выбранную точку М внутри треугольника провести прямую, разрезающую треугольник на две равновеликие фигуры.
_webmath.ru