Задачи по геометрии

Коля и Петя из хулиганских исследовательских побуждений взяли трубу квадратного сечения за торцы и скрутили, повернув торцы друг относительно друга на 720 градусов. Ось трубы при этом осталась прямолинейной. Трубу прокатили по песку в направлении, перпендикулярном ее оси, слегка придавив её и сделав несколько оборотов, так, что вдоль её траектории не осталось не тронутых трубой участков песка. Попробуйте построить сечения следа на песке в направлении движения трубы и в направлении, параллельном оси трубы.

Антенщик-мачтовик, монтируя что-то там на 500-метровой отметке Останкинской телебашни, выронил гайку. В какую сторону и на сколько метров будет отстоять точка падения гайки на землю от вертикали, проходящей через начальную точку?

_{фольклор}

…букашка по имени Жанетта выползла из дырочки в глобусе диаметром 1 метр в точке, обозначающей Кейптаун, и двинулась на северо-восток, строго придерживаясь азимута 45°. Куда она приползёт и какова будет длина её пути?

_{Старинная задача навигацких наук}

Назовем диаметром выпуклого многоугольника отрезок, отсекаемый его сторонами на прямой, проходящей через центр тяжести многоугольника. Проведем из центра тяжести луч в произвольном направлении. Теперь, проводя прямые под возрастающим с неким шагом углом к этому лучу, будем измерять полученные диаметры в диапазоне угла от 0 до Пи. Найдем средний арифметический диаметр. Устремив угловой шаг к нулю, найдем точное значение этого среднего арифметического диаметра. Можно ли вывести формулу для вычисления этого диаметра для треугольника со сторонами a, b, c? Для четырехугольника со сторонами a, b, c, d? Интересно было бы найти соотношение между таким средним диаметром треугольника со сторонами a, b, c и диаметрами его вписанной и описанной окружностей.

На стороне АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) как на диаметре построена окружность, пересекающая АВ в точке Е. Медиана АD и отрезок СЕ пересекаются в точке Р. Найти площадь треугольника АВС, если РС=7, РЕ=3.

_webmath.ru

Доказать, что если равнобочная трапеция имеет боковые стороны длиной a, основания b и c, диагональ d, то d^2=a^2+bc.
_{H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer}

Цилиндрический ролик длиной L и диаметром D катится по горизонтальной плоскости без проскальзываний. В некоторый момент времени диаметр одного из оснований цилиндра начинает меняться пропорционально углу поворота ролика вокруг своей оси (при этом прямолинейность образующей сохраняется, т.е. ролик становится усеченным конусом) и уменьшается за два оборота ролика вокруг своей оси от D до нуля. Какую траекторию опишет на плоскости точка касания малого основания ролика к плоскости?

Конструкторы нового элеватора из соображений компактности технологической линии в одном месте согнули трубопровод диаметром D со шнеком (архимедовым винтом) внутри в полутор с радиусом по осевой линии R. Шаг винта S по осевой линии остался прежним, диаметр гибкого вала шнека остался равным d, гибкий вал вращался с той же угловой скоростью w, что и вал винта на прямолинейном участке трубопровода. Однако, при испытаниях линии технологи с удивлением обнаружили, что при работе трубопровода с производительностью, приближающейся к N% от максимальной расчетной, возникает… Что же возникает, и возникает ли? А если возникает, то при каком N?

Во внутренней полости конуса с вертикальной осью и углом при вершине A на высоте H от вершины конуса вдоль его внутренней поверхности под углом к горизонтали B запускают шарик радиуса r с начальной скоростью v. Трение между конусом и шариком отсутствует, поверхности конуса и шарика абсолютно тверды. Какова будет траектория шарика?

_{Е.Скляревский}

По круговым орбитам радиусов R и r с угловыми скоростями u и v вокруг звезды Зю вращаются в одной плоскости планеты Плюк и Шняга. Найти среднее расстояние между планетами.

_{Е.Скляревский}

Дорогая редакция!
Пишет вам Петя Пробиркин из секретной химической лаборатории Спецсредмашпоставки города N-ска. В нашей лаборатории я служу программистом робототехники. Роботы наши в герметически закрытом помещении переливают и смешивают ядовитые реактивы. Сосуды используются при этом старинные: чашки Петри, колбы, стаканы, пробирки, мензурки, реторты и т.д. Сосуды цилиндрические, конические, полусферические, сферические. Передо мной поставили задачу запрограммировать роботов определенным образом. Для каждой пары изливающего и приемного сосудов разной формы робот должен выбирать такой закон изменения угла наклона изливающего сосуда от времени, чтобы уровень жидкости в приемном сосуде рос с постоянной скоростью. Вязкостью и поверхностным натяжением разрешили пренебречь. Помогите, люди добрые, алгоритмами!

К вертикальной стороне прямого угла с внутренней стороны примыкает диаметром полуокружность, находящаяся в плоскости этого прямого угла. На полуокружности выбрана произвольная точка С. Нижний конец А диаметра начинает скольжение вдоль горизонтальной стороны угла, а верхний конец B диаметра — вдоль вертикальной стороны угла, при этом полуокружность остаётся в плоскости угла. По какой траектории движется точка С?

На окружности радиуса R отмечены последовательно точки A, B, C, D, M. На дугу AB опирается угол α, на дугу BC — угол β, на дугу CD — угол γ. Ломаную вдоль хорд ABCD выполнили из проволоки постоянного сечения и установили точкой C на рычажные весы V. Если α и β известны, при каком угле γ проволока будет находиться в равновесии? Зависит ли γ от R?

Петя Васильчиков — гениальный ребенок. Так полагает его бабушка Элеонора Бельц. Разумеется, каждый гениальный ребенок просто обязан стать гениальным пианистом. «Только Ronisch 132 !» – настаивала бабушка под самый Новый год. И вот, грузчики Михалыч и Пахомыч пытаются мимо наряженной ёлки закатить пианино в Петину комнату. Для этого им необходимо преодолеть поворот коридора. Ширина коридора до поворота 130 см, длина пианино 152 см, ширина 63 см. Известно, что слегка зацепив обои, но не поцарапав при этом инструмент, грузчики справились с задачей. Какова же была ширина коридора после поворота? Да, интересно также, какой формы следы оставили на полу колеса пианино весом 235 кг.

_{фольклор}

Стороны и высота треугольника выражаются четырьмя последовательными целыми числами. Чему равна площадь этого треугольника?

_{Г.Э. Дьюдени}