В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC, угол при вершине B равен 20°. Из вершины A проведена прямая под углом 25° к основанию AC до пересечения со стороной BC в точке E. Из вершины С проведена прямая под углом 65° к основанию AC до пересечения со стороной AB в точке G. Найти угол CGE.
www.gogeometry.com
В треугольнике ABC проведена чевиана BD=AC, причем величины углов составляют DBC=2x, BAC=3x, DCB=4x. Найти величину угла x.
Antonio Gutierrez
Вокруг квадрата ABCD описана окружность с центром О, на дуге AB (меньшей) отмечена точка E, прямая EO пересекает окружность в точке F, середины отрезков CE и BC — точки K и L соответственно. Доказать: диагональ квадрата AC, отрезки FK и DL пересекаются в одной точке.
Н. Москвитин
Дан треугольник ABC с длинами сторон BC=a, AC=b, AB=c. Прямые l1 и l2, образующие угол d, делят его на три равновеликие части. Найти геометрическое место вершин угла d.
Николай Москвитин
Пусть I – центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, X и Y – точки касания окружности сторон AC и BC соответственно. Через I проведена прямая g, пересекающая стороны AC, BC и окружность в точках K, L, M, N (в таком порядке слева направо). P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точек X и Y на прямую g (точки P и Q находятся внутри окружности).
Доказать, что 1/KL+1/QM=1/MN+1/PL.
В треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA1 и CC1. Срединный перпендикуляр к отрезку A1C1 пересекает прямую AC в точке E. Доказать, что треугольник A1C1E равносторонний.
В треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA_1 и CC_1. Серединный перпендикуляр к отрезку A_1C_1 пересекает прямую BC в точке D. Доказать: AC=CD.
Николай Москвитин
Через произвольно выбранную на стороне ВС треугольника ABC точку P провести прямую, разбивающую периметр треугольника в заданном отношении m/n. В каких пределах должно находиться отношение m/n, чтобы при данных известных длинах сторон треугольника и данном отношении CP/PB задача имела решение?
Через произвольно отмеченную на стороне треугольника точку провести прямую, делящую площадь треугольника в заданном отношении m/n.
Вокруг прямоугольника ABCD описана окружность, проведены диагонали AC и BD с точкой пересечения O, на дуге CD выбрана произвольная точка E, и в ней к окружности проведена касательная, пересекающая продолжение стороны BC в точке F.
Построить одной линейкой точку пересечения окружности, описанной около треугольника CFE, и диагонали AC.
Николай Москвитин
В равнобедренном треугольнике построена вписанная окружность и окружность, касающаяся вписанной окружности и боковых сторон треугольника. Построить окружность, касающуюся обеих данных окружностей и боковой стороны треугольника.
Вокруг треугольника ABC описана окружность, и в ней проведён диаметр AD; в треугольнике проведена высота BE, из B проведён перпендикуляр BF на AD.
Доказать: отрезок EF проходит через середину стороны BC.
Николай Москвитин
В треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1,CC1, на окружности, описанной около треугольника ABC, отмечена произвольная точка M (при условии, что она не принадлежит ни одной прямой, содержащей высоту; в последнем случае одна из окружностей вырождается в прямую).
Доказать: окружности, описанные около треугольников MAA1, MBB1 и MCC1, пересекаются в одной точке.
Николай Москвитин
В основании пирамиды высотой h лежит правильный треугольник со стороной а. Найти соотношение, в котором находятся двугранные углы при основании пирамиды.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1, около него описана окружность, прямая A1B1 пересекает её в точках D и E. Найти:DE.
Николай Москвитин
