Архив на категорию ‘Подумалось вдруг’

Задача № 263. На проспекте удвоения куба

Воскресенье, февраля 26, 2017

Проведем прямую AQ. С центром в точке O на ней построим окружность диаметром 3 так, что |AO|=1,5 (красная окружность). Отметим на прямой точку K так, что |AK|=1. Проведем через точку K под произвольным углом прямую, пересекающую окружность в точках G и E. Очевидно, в любом случае |GK|*|GE|=2. Построим с центром на прямой AQ окружность диаметром 17, касающуюся первой окружности в точке A (фиолетовая окружность). Пусть прямая GE пересекает вторую окружность в точках B и C. Очевидно, в любом случае |BK|*|CK|=16. Вращая прямую GE вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KE|=2^(1/3), а |GK|=2^(2/3), т.е. |GK|=|EK|^2. Вращая прямую BC вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KC|=2*2^(1/3), а |GE|=4*2^(2/3). С помощью гомотетии с коэффициентом 2 и центром в точке K построим синюю окружность. Точка C пересечения синей и фиолетовой окружности будет обладать замечательным свойством |KE|=|CK|=2^(1/3). Проверим наше построение с помощью окружности, полученной с помощью гомотетии с центром в точке K и коэффициентом 4 (зеленая окружность). На её пересечении с фиолетовой окружностью находится точка B такая, что |BK|=4*|GK|=4*2^(2/3), т.е. |BK|=|CK|^2. Легко убедиться, что точки B, K и E лежат на одной прямой.
Однако, почему не ликуют древние греки? Ведь мы построили отрезок, равный кубическому корню из 2, решив таким образом задачу об удвоении куба! Возможно, в наше построение вкралась ошибка? Найдите её.
Zadacha 263 na prospekte udvoeniya kuba

Задача № 262. Поцелуй параболы

Понедельник, февраля 6, 2017

Дана окружность с отмеченной на ней точкой А и точка В вне окружности. Найти параболу (построив ее директрису) с фокусом в точке В, касающуюся окружности в точке А.

Задача № 261. Погоня за отражением

Среда, ноября 9, 2016

В просторном зале, стоя на полу, вы видите на полу отражение светильника, подвешенного под потолком. Пусть ваш рост h, высота потолка H, расстояние между вами и точкой на полу под светильником S. Вы двигаетесь в направлении светильника со скоростью V. С какой скоростью вы догоняете отражение светильника? С какой скоростью отражение светильника движется к точке под светильником?

Задача № 258. Заплыв точки по дуге

Четверг, июня 23, 2016

Две окружности равного радиуса с центрами в точках О и О1 имеют общую хорду АВ. Из точки О проведен в произвольном направлении отрезок, пересекающий хорду AB, затем пересекающий окружность O в точке С и окружность О1 в точке D. Пусть М – середина отрезка CD. Доказать (или опровергнуть), что геометрическим местом точек M является дуга окружности.
Задача 258 Заплыв точки по дуге ГМТ

Задача № 257. Трисекция

Суббота, июня 18, 2016

Дана окружность и в ней центральный острый угол альфа. Построить угол, равный третьей части альфа, используя циркуль и линейку, на которой можно делать засечки, так, чтобы все построения не выходили за пределы окружности.

Задача № 255. Рулоны и наклоны

Суббота, января 2, 2016

На наклонной плоскости два ткача придерживают два совершенно одинаковых рулона ткани. Одновременно отпускают. Один рулон скатывается со склона как цельный цилиндр, а второй во время спуска разматывается. Скольжение отсутствует. Какой рулон скатится быстрее?

Задача № 246. Канатоходец

Понедельник, декабря 16, 2013

Точки A и B подвеса концов невесомого нерастяжимого каната длиной L находятся на неподвижных опорах высотой Ha и Hb, расстояние между основаниями опор по горизонтали равно с. Нетрудно найти траекторию движения канатоходца, идущего по такому канату. Но какова будет траектория движения канатоходца массой m по канату массой M при тех же условиях подвеса каната?

Задача №243. Движение окружностей

Четверг, октября 31, 2013

В горизонтальной плоскости P расположены две взаимно перпендикулярные прямые x и y, пересекающиеся в точке O. В вертикальной плоскости V, перпендикулярной биссектрисе угла между прямыми x и y и содержащей точку O, расположена окружность радиуса a, касающаяся плоскости P в точке O. В плоскости V также расположена концентричная первой окружность радиуса a-1. Окружности, оставаясь вертикальными и концентрическими, начинают перемещаться в направлении биссектрисы угла между x и y так, что большая окружность все время касается прямых x и y. Какую кривую образуют точки пересечения малой окружности с плоскостью P? Найти её уравнение.

Задача №241. Танкисты идут на поправку

Воскресенье, октября 20, 2013

Танк вышел на позицию и с первого же выстрела поразил учебную мишень. Башня была повернута влево от продольной оси танка на 30°, угол возвышения ствола составлял 15°. По учебному заданию танкистам необходимо было произвести еще один контрольный выстрел по той же мишени, однако, после первого выстрела грунт под левой гусеницей просел, и танк получил крен на левый борт в 10°. Какие поправки на углы наводки должны ввести танкисты, чтобы снова поразить цель?

Задача №240. Капленоида

Четверг, сентября 12, 2013

Из крана периодически капает вода, капли падают вертикально в воду в бассейне, вертикальная стенка которого находится на расстоянии а от линии падения капель. При падении капля выбивает брызги с поверхности воды. Допустим, брызги разлетаются всегда под углом b к поверхности воды. Какую кривую образуют на стенке бассейна точки падения брызг на неё?

Задача №236. Сегментация

Среда, августа 14, 2013

Две окружности радиусов R (большая) и r (малая) имеют общую хорду AB. В малой окружности проведена хорда BC=AB. Известно, что площадь малого сегмента большой окружности, стягиваемого хордой AB, равна площади треугольника, составленного из хорд AB, BC и дуги AC малой окружности. В каком отношении находятся площади двух частей, на которые большая окружность разбивает малую?

Задача №235. Общая часть конусов

Четверг, июня 27, 2013

Вершина прямого кругового конуса расположена в вершине A куба ABCDA’B’C’D’, а основанием является окружность, построенная на диагонали BA’ грани ABB’A’ куба. Вершина второго прямого кругового конуса также совпадает с вершиной A куба, а основанием является окружность, построенная на диагонали A’D грани ADD’A’ куба. Найти отношение объема общей части конусов к объему куба.

Задача №233. Центр тяжести улитки

Вторник, июня 4, 2013

Найти центр тяжести фигуры, ограниченной последним витком логарифмической спирали вида r=ae^(bφ) и отрезком AB радиального луча OB.
logarithm_spiral

Задача №229. По следам 60 градусов.

Среда, мая 22, 2013

В треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA1 и CC1. Срединный перпендикуляр к отрезку A1C1 пересекает прямую AC в точке E. Доказать, что треугольник A1C1E равносторонний.

Задача №226. Соблюдаем фигуру

Среда, февраля 27, 2013

На плоскости задан отрезок единичной длины. С помощью только циркуля построить фигуру площадью Пи/3+sin(Пи/3).