Архив на категорию ‘Подумалось вдруг’

Задача № 266. О превратностях розничной торговли

Пятница, апреля 21, 2017

Город имеет форму круга радиуса R. По всей площади города магазины торговой сети расположены равномерно. Расстояние от центра города до распределительного центра сети равно r. Найти среднее расстояние от распределительного центра до магазина сети.

Задача № 263. На проспекте удвоения куба

Воскресенье, февраля 26, 2017

Проведем прямую AQ. С центром в точке O на ней построим окружность диаметром 3 так, что |AO|=1,5 (красная окружность). Отметим на прямой точку K так, что |AK|=1. Проведем через точку K под произвольным углом прямую, пересекающую окружность в точках G и E. Очевидно, в любом случае |GK|*|GE|=2. Построим с центром на прямой AQ окружность диаметром 17, касающуюся первой окружности в точке A (фиолетовая окружность). Пусть прямая GE пересекает вторую окружность в точках B и C. Очевидно, в любом случае |BK|*|CK|=16. Вращая прямую GE вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KE|=2^(1/3), а |GK|=2^(2/3), т.е. |GK|=|EK|^2. Вращая прямую BC вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KC|=2*2^(1/3), а |GE|=4*2^(2/3). С помощью гомотетии с коэффициентом 2 и центром в точке K построим синюю окружность. Точка C пересечения синей и фиолетовой окружности будет обладать замечательным свойством |KE|=|CK|=2^(1/3). Проверим наше построение с помощью окружности, полученной с помощью гомотетии с центром в точке K и коэффициентом 4 (зеленая окружность). На её пересечении с фиолетовой окружностью находится точка B такая, что |BK|=4*|GK|=4*2^(2/3), т.е. |BK|=|CK|^2. Легко убедиться, что точки B, K и E лежат на одной прямой.
Однако, почему не ликуют древние греки? Ведь мы построили отрезок, равный кубическому корню из 2, решив таким образом задачу об удвоении куба! Возможно, в наше построение вкралась ошибка? Найдите её.
Zadacha 263 na prospekte udvoeniya kuba

Задача № 262. Поцелуй параболы

Понедельник, февраля 6, 2017

Дана окружность с отмеченной на ней точкой А и точка В вне окружности. Найти параболу (построив ее директрису) с фокусом в точке В, касающуюся окружности в точке А.

Задача № 261. Погоня за отражением

Среда, ноября 9, 2016

В просторном зале, стоя на полу, вы видите на полу отражение светильника, подвешенного под потолком. Пусть ваш рост h, высота потолка H, расстояние между вами и точкой на полу под светильником S. Вы двигаетесь в направлении светильника со скоростью V. С какой скоростью вы догоняете отражение светильника? С какой скоростью отражение светильника движется к точке под светильником?

Задача № 258. Заплыв точки по дуге

Четверг, июня 23, 2016

Две окружности равного радиуса с центрами в точках О и О1 имеют общую хорду АВ. Из точки О проведен в произвольном направлении отрезок, пересекающий хорду AB, затем пересекающий окружность O в точке С и окружность О1 в точке D. Пусть М – середина отрезка CD. Доказать (или опровергнуть), что геометрическим местом точек M является дуга окружности.
Задача 258 Заплыв точки по дуге ГМТ

Задача № 257. Трисекция

Суббота, июня 18, 2016

Дана окружность и в ней центральный острый угол альфа. Построить угол, равный третьей части альфа, используя циркуль и линейку, на которой можно делать засечки, так, чтобы все построения не выходили за пределы окружности.

Задача № 255. Рулоны и наклоны

Суббота, января 2, 2016

На наклонной плоскости два ткача придерживают два совершенно одинаковых рулона ткани. Одновременно отпускают. Один рулон скатывается со склона как цельный цилиндр, а второй во время спуска разматывается. Скольжение отсутствует. Какой рулон скатится быстрее?

Задача № 246. Канатоходец

Понедельник, декабря 16, 2013

Точки A и B подвеса концов невесомого нерастяжимого каната длиной L находятся на неподвижных опорах высотой Ha и Hb, расстояние между основаниями опор по горизонтали равно с. Нетрудно найти траекторию движения канатоходца, идущего по такому канату. Но какова будет траектория движения канатоходца массой m по канату массой M при тех же условиях подвеса каната?

Задача №243. Движение окружностей

Четверг, октября 31, 2013

В горизонтальной плоскости P расположены две взаимно перпендикулярные прямые x и y, пересекающиеся в точке O. В вертикальной плоскости V, перпендикулярной биссектрисе угла между прямыми x и y и содержащей точку O, расположена окружность радиуса a, касающаяся плоскости P в точке O. В плоскости V также расположена концентричная первой окружность радиуса a-1. Окружности, оставаясь вертикальными и концентрическими, начинают перемещаться в направлении биссектрисы угла между x и y так, что большая окружность все время касается прямых x и y. Какую кривую образуют точки пересечения малой окружности с плоскостью P? Найти её уравнение.

Задача №241. Танкисты идут на поправку

Воскресенье, октября 20, 2013

Танк вышел на позицию и с первого же выстрела поразил учебную мишень. Башня была повернута влево от продольной оси танка на 30°, угол возвышения ствола составлял 15°. По учебному заданию танкистам необходимо было произвести еще один контрольный выстрел по той же мишени, однако, после первого выстрела грунт под левой гусеницей просел, и танк получил крен на левый борт в 10°. Какие поправки на углы наводки должны ввести танкисты, чтобы снова поразить цель?

Задача №240. Капленоида

Четверг, сентября 12, 2013

Из крана периодически капает вода, капли падают вертикально в воду в бассейне, вертикальная стенка которого находится на расстоянии а от линии падения капель. При падении капля выбивает брызги с поверхности воды. Допустим, брызги разлетаются всегда под углом b к поверхности воды. Какую кривую образуют на стенке бассейна точки падения брызг на неё?

Задача №236. Сегментация

Среда, августа 14, 2013

Две окружности радиусов R (большая) и r (малая) имеют общую хорду AB. В малой окружности проведена хорда BC=AB. Известно, что площадь малого сегмента большой окружности, стягиваемого хордой AB, равна площади треугольника, составленного из хорд AB, BC и дуги AC малой окружности. В каком отношении находятся площади двух частей, на которые большая окружность разбивает малую?

Задача №235. Общая часть конусов

Четверг, июня 27, 2013

Вершина прямого кругового конуса расположена в вершине A куба ABCDA’B’C’D’, а основанием является окружность, построенная на диагонали BA’ грани ABB’A’ куба. Вершина второго прямого кругового конуса также совпадает с вершиной A куба, а основанием является окружность, построенная на диагонали A’D грани ADD’A’ куба. Найти отношение объема общей части конусов к объему куба.

Задача №233. Центр тяжести улитки

Вторник, июня 4, 2013

Найти центр тяжести фигуры, ограниченной последним витком логарифмической спирали вида r=ae^(bφ) и отрезком AB радиального луча OB.
logarithm_spiral

Задача №229. По следам 60 градусов.

Среда, мая 22, 2013

В треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA1 и CC1. Срединный перпендикуляр к отрезку A1C1 пересекает прямую AC в точке E. Доказать, что треугольник A1C1E равносторонний.