Задачи по геометрии

На плоскость, наклоненную к горизонту под углом бета, кладут монолитную шестигранную прямоугольную призму так, что её продольная ось параллельна горизонту, и отпускают. Случись покатившейся призме подпрыгнуть или, приземлившись, удариться о плоскость, удар будет абсолютно упругим. Скольжение между плоскостью и призмой отсутствует. Найдется ли такой угол бета, при котором покатившаяся и ненароком оторвавшаяся от плоскости призма приземлится на наклонную плоскость точно какой-либо из своих боковых граней (ну то есть не ударится о неё ребром, высекая искры, а шлёпнется всей боковой гранью плашмя)?

Внутри окружности выбраны произвольно две точки A и B. Найти такое направление луча из точки A, чтобы отраженный от окружности луч попал в точку B.

Угол при вершине B треугольника ABC составляет 120 градусов. Продолжение биссектрисы угла B пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Докажите, что BL= AB + BC.

Вавилонская башня. По боковой поверхности конуса винтовая лестница. При постоянном шаге винта угол подъема лестницы по мере приближения к верхушке башни увеличивается. А можно ли построить сужающуюся кверху башню такой формы, чтобы и шаг винта лестницы был постоянным, и угол её подъема сохранялся одинаковым от подножья до верхушки?

На плоскости лежат, касаясь друг друга, два шара радиусов R и r. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся двух данных. Интересно составить уравнение кривой пересечения ГМТ с опорной плоскостью шаров. Если ГМТ разбивает пространство на два полупространства, можно ли оценить отношение частей объема “меньшего” из них, на которые разбивает его опорная плоскость?

В большом неподвижном колесе R водило V длиной R/2 начинают вращать вокруг центра O с угловым ускорением ε до поворота его на 180 градусов, после чего вращение замедляют с тем же ускорением до остановки его в начальной точке. При этом малое колесо R/2, ось вращения которого находится на конце водила в точке Q, катится по большому благодаря зубчатому зацеплению. В точке контакта колес перед началом движения K на оси, расположенной на малом колесе, подвешена (с возможностью вращения вокруг этой оси) спецлюлька, куда инкапсулирован космонавт. Какую максимальную перегрузку испытает космонавт?

_{в процессе испытаний все были пристегнуты ремнями безопасности, и никто не пострадал}

На плоскости заданы произвольный отрезок AB и отрезок единичной длины. С помощью циркуля и линейки разделить отрезок AB на два отрезка так, чтобы отношение одного из них к единице было равно отношению второго к первому.

Вот среди ночи тайком взяли Вы, к примеру, конус из детского набора деревянных фигур и из баловства, ну вот буквально от нечего делать, не задумываясь, начертили у него на боку циркулем “окружность”. Ну и конечно же заметили, что окружность какая-то не круглая. И на развертке конуса не круглая. И вообще никак не круглая. И решили составить уравнение этой кривулины на развертке конуса. Вот и мучайтесь! Да. А я спать пошел.

Можно ли одним раствором циркуля построить на листе бумаги кривую вида
y=b(1-((a/b)Sin(x/a))^2)^0,5

?

Солнце в зените. На горизонтальной плоскости стоит вертикально круглый тонкий обруч диаметром D. Обруч начинает падать. Тень от обруча превращается в эллипс. Вы надеваете волшебные очки и видите, как сближаются фокусы эллипса. Шмяк! Обруч улегся горизонтально, фокусы слились в центре, волшебство исчезло. Допустим, обруч заваливался на бок с постоянной угловой скоростью w. Каков же был закон сближения (относительного движения) фокусов? А если обруч потерял равновесие и падал на бок под действием силы тяжести?

Дан отрезок AB, на котором выбрана точка L. Найти геометрическое место вершин С треугольников ABC, для которых CL - биссеткриса угла ACB.

Мотоциклист поднимается в гору от точки А к точке В. Путь его пролегает в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В. Сила тяги двигателя мотоцикла постоянна. При какой форме склона горы мотоциклист преодолеет свой путь за кратчайшее время? Масса вместе с мотоциклом M, скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.

Если стороны квадрата повернуть вокруг его вершин внутрь квадрата на одинаковый угол, то их взаимопересечения образуют квадрат меньшего размера с тем же центром. Можно ли найти некое аналогичное преобразование для куба? Т.е. поворотом одних элементов куба вокруг других на одинаковый угол высечь во внутреннем пространстве куба куб меньшего объема с тем же центром.

На боковой поверхности резинового цилиндра начертили винтовую линию с целым числом витков. Цилиндр согнули в тор так, что длина осевой линии тора осталась равной высоте цилиндра. Изменилась ли длина винтовой линии?

На стороне AD внутри квадрата ABCD построен равносторонний треугольник A’D'E. Треугольник поворачивается так, что его вершина A’ скользит по стороне квадрата от A к D, а вершина D’ скользит по стороне квадрата от D к C. Какую кривую, непрерывно её касаясь, огибает при этом основание A’D’ треугольника? По каким кривым движутся центр O и вершина E треугольника?