Задачи по геометрии

Угол при вершине B треугольника ABC составляет 120 градусов. Продолжение биссектрисы угла B пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Докажите, что BL= AB + BC.

На стороне AD ромба ABCD взята точка M. Доказать, что окружности, вписанные в треугольники ABM, BMC и CMD, имеют общую касательную.

_{О.П. Зеленяк}

Доказать, что если точку пересечения касательных к эллипсу в концах хорды, содержащей фокус, соединить с этим фокусом, получившаяся прямая будет перпендикулярна хорде.

_{А. В. Акопян, А. А. Заславский}

Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

_uForum

Докажите, что в любом треугольнике биссектриса любого угла делит пополам угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведенными из той же вершины, что и биссектриса.
_{“Квант”, 1999, №3.}

В треугольнике АВС АС=(АВ+ВС)/2. Докажите, что центр вписанной в треугольник АВС окружности, середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.

_{ЕГЭ_тренер.ру}

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

_{Прасолов В.В.}

С помощью циркуля и линейки построить четырехугольник со сторонами 2, 3, 4, 5 и углом между диагоналями 60°. Доказать, что центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах 2 и 4 с внешней стороны четырехугольника и на сторонах 3 и 5 с внутренней стороны четырехугольника, лежат на одной прямой.

Прямые, проведенные через точку А, касаются окружности с центром О в точках В и С. D - точка пересечения отрезка АО с окружностью. Точка X - основание перпендикуляра, опущенного из точки В на CD. Y - середина отрезка BX. Z - точка пересечения DY с окружностью. Доказать, что угол AZC прямой.
_{Форум MathLinks}

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине С проведена высота CD. Некоторая точка K в плоскости треугольника находится от вершины A на расстоянии, равном AC, при этом точка O является центром окружности, проходящей через точки A, B, K. Докажите, что отрезок DK перпендикулярен AO.

_{Блог Синаджексона}

ABC – остроугольный треугольник. На стороне AB как на диаметре построили окружность, которая пересекает высоту CC′ и её продолжение в точках M и N. Окружность, построенная на диаметре AC пересекает высоту BB′ и её продолжение в точках P и Q. Докажите, что точки M,N,P,Q лежат на одной окружности.
_{Национальная математическая олимпиада США, 1990}