Задачи по геометрии

На плоскость, наклоненную к горизонту под углом бета, кладут монолитную шестигранную прямоугольную призму так, что её продольная ось параллельна горизонту, и отпускают. Случись покатившейся призме подпрыгнуть или, приземлившись, удариться о плоскость, удар будет абсолютно упругим. Скольжение между плоскостью и призмой отсутствует. Найдется ли такой угол бета, при котором покатившаяся и ненароком оторвавшаяся от плоскости призма приземлится на наклонную плоскость точно какой-либо из своих боковых граней (ну то есть не ударится о неё ребром, высекая искры, а шлёпнется всей боковой гранью плашмя)?

Внутри окружности выбраны произвольно две точки A и B. Найти такое направление луча из точки A, чтобы отраженный от окружности луч попал в точку B.

Вавилонская башня. По боковой поверхности конуса винтовая лестница. При постоянном шаге винта угол подъема лестницы по мере приближения к верхушке башни увеличивается. А можно ли построить сужающуюся кверху башню такой формы, чтобы и шаг винта лестницы был постоянным, и угол её подъема сохранялся одинаковым от подножья до верхушки?

На плоскости лежат, касаясь друг друга, два шара радиусов R и r. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся двух данных. Интересно составить уравнение кривой пересечения ГМТ с опорной плоскостью шаров. Если ГМТ разбивает пространство на два полупространства, можно ли оценить отношение частей объема “меньшего” из них, на которые разбивает его опорная плоскость?

В большом неподвижном колесе R водило V длиной R/2 начинают вращать вокруг центра O с угловым ускорением ε до поворота его на 180 градусов, после чего вращение замедляют с тем же ускорением до остановки его в начальной точке. При этом малое колесо R/2, ось вращения которого находится на конце водила в точке Q, катится по большому благодаря зубчатому зацеплению. В точке контакта колес перед началом движения K на оси, расположенной на малом колесе, подвешена (с возможностью вращения вокруг этой оси) спецлюлька, куда инкапсулирован космонавт. Какую максимальную перегрузку испытает космонавт?

_{в процессе испытаний все были пристегнуты ремнями безопасности, и никто не пострадал}

В горизонтальной плите имеется лунка в форме полусферы радиусом R. Тонкий стержень длиной L лежит одним концом в лунке, второй конец торчит. Трение между стержнем и лункой отсутствует. Найти угол стержня к горизонту.

_{Форум СПбГУ}

На плоскости заданы произвольный отрезок AB и отрезок единичной длины. С помощью циркуля и линейки разделить отрезок AB на два отрезка так, чтобы отношение одного из них к единице было равно отношению второго к первому.

Можно ли одним раствором циркуля построить на листе бумаги кривую вида
y=b(1-((a/b)Sin(x/a))^2)^0,5

?

Солнце в зените. На горизонтальной плоскости стоит вертикально круглый тонкий обруч диаметром D. Обруч начинает падать. Тень от обруча превращается в эллипс. Вы надеваете волшебные очки и видите, как сближаются фокусы эллипса. Шмяк! Обруч улегся горизонтально, фокусы слились в центре, волшебство исчезло. Допустим, обруч заваливался на бок с постоянной угловой скоростью w. Каков же был закон сближения (относительного движения) фокусов? А если обруч потерял равновесие и падал на бок под действием силы тяжести?

Две окружности касаются между собой в точке М, а радиусы окружностей различаются в полтора раза. Проведем диаметры АМ и ВМ. Известно, что длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
Найти радиусы окружностей.

_{Математический фольклор. Задача предложена Шухратом Исмаиловым на конкурсе “Учитель года-2010″}

Дан отрезок AB, на котором выбрана точка L. Найти геометрическое место вершин С треугольников ABC, для которых CL - биссеткриса угла ACB.

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найти АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.

_{мехмат МГУ}

Составить из дуг парабол криволинейный треугольник наименьшей площади с заданными вершинами (стороны треугольника должны пересекаться только в вершинах и быть направлены выпуклостью внутрь).

_{Всесоюзные студенческие олимпиады}

Дан квадрат ABCD. Точки K и L являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезок KD пересекается с диагональю AC и отрезком AL в точках P и Q, соответственно. Найти площадь четырехугольника LQPC, если сторона квадрата равна 60.

_{Альхамов Р.Р.}

Найти плоскую фигуру наименьшей площади, внутри которой возможен поворот равностороннего треугольника на 360 градусов.

_{Мишаня Дундило}