Задачи по геометрии

Внутри окружности выбраны произвольно две точки A и B. Найти такое направление луча из точки A, чтобы отраженный от окружности луч попал в точку B.

На плоскости начерчен угол и точка P внутри угла. Кроме того, вне угла имеется отрезок AB. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить проходящий через точку P отрезок длиною AB, концы которого лежат на сторонах угла?

На чертеже имеются две прямые, точка пересечения которых лежит за пределами чертежа, и произвольная точка P. Необходимо с помощью односторонней линейки построить прямую, проходящую через точку P и точку пересечения данных прямых.

На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Необходимо опустить из точки перпендикуляр на прямую с помощью односторонней линейки и циркуля, причем циркулем можно воспользоваться только один раз, для того чтобы нарисовать дугу/окружность или сделать засечки (с одним центром, не меняя радиус).
_{JH со ссылкой на фольклор НГУ}

На плоскости заданы произвольный отрезок AB и отрезок единичной длины. С помощью циркуля и линейки разделить отрезок AB на два отрезка так, чтобы отношение одного из них к единице было равно отношению второго к первому.

Можно ли одним раствором циркуля построить на листе бумаги кривую вида
y=b(1-((a/b)Sin(x/a))^2)^0,5

?

Дан отрезок AB, на котором выбрана точка L. Найти геометрическое место вершин С треугольников ABC, для которых CL - биссеткриса угла ACB.

По неподвижному эллипсу катится без скольжения равный ему эллипс так, что в каждый момент времени они симметричны относительно общей касательной. Какие линии описывают фокусы движущегося эллипса?

_{Математические олимпиады ОмГУ}

На области построения заданы графически две функции f(x) и g(x). Постройте графически (карандаш, циркуль, линейка) на этой области третью функцию, равную произведению двух заданных P(x)= f(x)*g(x).

_{Сергей Марков}

Найти плоскую фигуру наименьшей площади, внутри которой возможен поворот равностороннего треугольника на 360 градусов.

_{Мишаня Дундило}

В пространственном четрехугольнике со сторонами a, b, c, d стороны a и c скрещиваются под прямым углом. Кратчайший отрезок между a и c делит сторону a в отношении m:n. Найти длину этого отрезка (расстояние между сторонами a и c).

В Изумрудном городе Гудвин не только хотел домой к маме и наслаждался роскошью. Пытливый ум фокусника не давал покоя глазам и рукам. Кроме того, поддержание волшебного имиджа требовало изобретательности и определенных усилий. Среди прочего исследовал он и свойства изумрудных шаров. Расположив свечу в двух ярдах от белой стены, он перемещал изумрудный шар диаметром в 1 дюйм от свечи к стене и наблюдал за изменением диаметра зелёного круга на стене, и даже вывел зависимость этого диаметра от расстояния между шаром и свечой. А Вы смогли бы?

На трех попарно скрещивающихся ребрах куба отмечены точки N, M, Q. Построить сечение куба плоскостью MNQ и сферу, касающуюся трех граней куба и секущей плоскости (найти центр и радиус сферы). Сколько может быть таких сфер?

Мастер спорта международного класса по спортивной гимнастике Бруно Альбертович Циглер, разучивая с подопечными на тренировке по акробатике новый элемент, для иллюстрации правильного положения головы в полёте прикрепил за ухом ручку-указку с лазерным лучом так, чтобы луч лазера совпадал с направлением взгляда прямо перед собой. Итак, разбег, рандат – фляк – сальто назад прогнувшись с пируэтом в 360 градусов, блестяще исполненное приземление без доскока и лишних шагов. Акробатическая дорожка пролегла вдоль средней линии спортзала, представляющего собой параллелепипед. Попробуйте изобразить траекторию следа лазерного луча на внутренней поверхности спортзала при выполнении сальто.

Кратчайшей между двумя точками на поверхности куба называется ломаная наименьшей длины с концами в этих точках, целиком лежащая на поверхности куба (в случае точек из одной грани это будет отрезок). Треугольником на поверхности куба называют наименьшую по площади область на поверхности куба, границей которой служат кратчайшие, попарно соединяющие три точки. Какую наибольшую площадь может иметь треугольник на поверхности куба с ребром длины 1 ?

_{физмат класс}