Архив на категорию ‘Задачи на построение’

Задача № 263. На проспекте удвоения куба

Воскресенье, февраля 26, 2017

Проведем прямую AQ. С центром в точке O на ней построим окружность диаметром 3 так, что |AO|=1,5 (красная окружность). Отметим на прямой точку K так, что |AK|=1. Проведем через точку K под произвольным углом прямую, пересекающую окружность в точках G и E. Очевидно, в любом случае |GK|*|GE|=2. Построим с центром на прямой AQ окружность диаметром 17, касающуюся первой окружности в точке A (фиолетовая окружность). Пусть прямая GE пересекает вторую окружность в точках B и C. Очевидно, в любом случае |BK|*|CK|=16. Вращая прямую GE вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KE|=2^(1/3), а |GK|=2^(2/3), т.е. |GK|=|EK|^2. Вращая прямую BC вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KC|=2*2^(1/3), а |GE|=4*2^(2/3). С помощью гомотетии с коэффициентом 2 и центром в точке K построим синюю окружность. Точка C пересечения синей и фиолетовой окружности будет обладать замечательным свойством |KE|=|CK|=2^(1/3). Проверим наше построение с помощью окружности, полученной с помощью гомотетии с центром в точке K и коэффициентом 4 (зеленая окружность). На её пересечении с фиолетовой окружностью находится точка B такая, что |BK|=4*|GK|=4*2^(2/3), т.е. |BK|=|CK|^2. Легко убедиться, что точки B, K и E лежат на одной прямой.
Однако, почему не ликуют древние греки? Ведь мы построили отрезок, равный кубическому корню из 2, решив таким образом задачу об удвоении куба! Возможно, в наше построение вкралась ошибка? Найдите её.
Zadacha 263 na prospekte udvoeniya kuba

Задача № 262. Поцелуй параболы

Понедельник, февраля 6, 2017

Дана окружность с отмеченной на ней точкой А и точка В вне окружности. Найти параболу (построив ее директрису) с фокусом в точке В, касающуюся окружности в точке А.

Задача № 260. Скольжение прямых углов

Четверг, июня 30, 2016

На плоскости построены два отрезка длинами a и b. С помощью циркуля и двух прямых углов (например, в виде школьных угольников) построить отрезки длинами c и d — два средних пропорциональных отрезка к данным a и b, т.е. чтобы выполнялось соотношение a:c = c:d = d:b.

Задача № 258. Заплыв точки по дуге

Четверг, июня 23, 2016

Две окружности равного радиуса с центрами в точках О и О1 имеют общую хорду АВ. Из точки О проведен в произвольном направлении отрезок, пересекающий хорду AB, затем пересекающий окружность O в точке С и окружность О1 в точке D. Пусть М – середина отрезка CD. Доказать (или опровергнуть), что геометрическим местом точек M является дуга окружности.
Задача 258 Заплыв точки по дуге ГМТ

Задача № 257. Трисекция

Суббота, июня 18, 2016

Дана окружность и в ней центральный острый угол альфа. Построить угол, равный третьей части альфа, используя циркуль и линейку, на которой можно делать засечки, так, чтобы все построения не выходили за пределы окружности.

Задача №250. Вершины квадрата

Понедельник, сентября 8, 2014

Дана окружность (центр не отмечен). С помощью только циркуля построить вершины квадрата, вписанного в эту окружность.

Задача №227. Пятая прямая

Суббота, мая 18, 2013

В некой профессии сотни лет решается разными способами следующая задача:
на плоскости имеются 4 прямые общего положения (не параллельны и не проходят через одну точку). Необходимо провести пятую прямую так, чтобы три расстояния между точками ее пересечения с четырьмя исходными прямыми были равны друг другу.
Как бы вы подошли к ее решению? Рассматриваются любые методы: аналитический, графический, с применением любых чертежных инструментов, «точные» и приближенные построения.
4-d0bfd180d18fd0bcd18bd0b5-d0b8-d0bfd18fd182d0b0d18f

Задача №226. Соблюдаем фигуру

Среда, февраля 27, 2013

На плоскости задан отрезок единичной длины. С помощью только циркуля построить фигуру площадью Пи/3+sin(Пи/3).

Задача №225. Рассечь периметр!

Суббота, февраля 9, 2013

Через произвольно выбранную на стороне ВС треугольника ABC точку P провести прямую, разбивающую периметр треугольника в заданном отношении m/n. В каких пределах должно находиться отношение m/n, чтобы при данных известных длинах сторон треугольника и данном отношении CP/PB задача имела решение?

Задача №223. Рассечь треугольник!

Четверг, января 31, 2013

Через произвольно отмеченную на стороне треугольника точку провести прямую, делящую площадь треугольника в заданном отношении m/n.

Задача № 222. Одну точку одной линейкой!

Воскресенье, января 20, 2013

Вокруг прямоугольника ABCD описана окружность, проведены диагонали AC и BD с точкой пересечения O, на дуге CD выбрана произвольная точка E, и в ней к окружности проведена касательная, пересекающая продолжение стороны BC в точке F.
Построить одной линейкой точку пересечения окружности, описанной около треугольника CFE, и диагонали AC.

Николай Москвитин

Задача № 221. Рассечение тетраэдра

Суббота, января 19, 2013

На ребре AD тетраэдра ABCD произвольно отмечена точка P. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку P и делящей его объем 1) пополам; 2) в заданном отношении m/n.

Задача №220. Трижды касательная окружность

Четверг, января 10, 2013

В равнобедренном треугольнике построена вписанная окружность и окружность, касающаяся вписанной окружности и боковых сторон треугольника. Построить окружность, касающуюся обеих данных окружностей и боковой стороны треугольника.

Задача №215. Ограничение куба

Пятница, декабря 14, 2012

В задаче №88 упоминался сюжет задачи 33bis из книги В. И. Арнольда «Задачи для детей от 5 до 15 лет»:
На трех попарно скрещивающихся ребрах куба отмечены точки N, M, Q. Построить сечение куба плоскостью MNQ.
Известно очень интересное дополнительное ограничение к этой задаче:
«… выполняя все построения только на поверхности куба».

незабываемое удовольствие, попробуйте

Задача №214. Парабола и прямая

Четверг, ноября 29, 2012

Парабола задана на плоскости фокусом и директрисой. На той же плоскости отмечены произвольно точки P и Q. С помощью циркуля и линейки найти точки пересечения параболы и прямой.