Архив на месяц мая, 2009

Задача № 58. «А мы монтажники-высотники…»

Пятница, мая 29, 2009

ABC – остроугольный треугольник. На стороне AB как на диаметре построили окружность, которая пересекает высоту CC′ и её продолжение в точках M и N. Окружность, построенная на диаметре AC пересекает высоту BB′ и её продолжение в точках P и Q. Докажите, что точки M,N,P,Q лежат на одной окружности.
Национальная математическая олимпиада США, 1990

Задача № 57. Три фонарика.

Пятница, мая 22, 2009

d182d180d0b8-d184d0bed0bdd0b0d180d0b8d0bad0b0

http://www.archimedes-lab.org

Задача № 56. Странный маятник

Четверг, мая 21, 2009

Блок радиусом R укреплен неподвижно и заклинен. В верхнем полюсе блока привязана и пропущена влево веревка длиной L, на конце веревки подвешен груз массой m. Груз отклонили влево так, что веревка отклонилась от вертикали на угол q. Груз отпустили. До какого угла w отклонится от вертикали веревка при движении такого маятника вправо?

Задача № 55. Деление хорды.

Среда, мая 20, 2009

Точка Q пересечения диагоналей вписанного в эллипс четырехугольника ABCD делит пополам хорду EF эллипса. EF пересекает стороны AB и CD четырехугольника в точках M и N соответственно. Можно ли доказать, что отрезки MQ и NQ равны?

Задача № 54. Наибольший угол.

Суббота, мая 16, 2009

Бухта представляет из себя острый угол. Найти на левом берегу бухты точку, из которой пляж, расположенный на правом берегу бухты, виден под наибольшим углом.
beech

Задача № 53. Плавучесть и тонучесть.

Пятница, мая 15, 2009

Шарик для настольного тенниса (m=2,7 г, R=20 мм) заполнен наполовину растительным маслом (плотностью p=0,9 г/см^3) и опущен в пустой цилиндрический стакан радиуса 25 мм. Сколько воды нужно налить в стакан, чтобы шарик перестал опираться на дно стакана?

Задача № 52. Прямоугольный пеленг

Среда, мая 13, 2009

Для любителей начертательной геометрии.

В точках А и В находятся радиолокаторы. Самолет перемещается в направлении t. Определить точки, в которых лучи локаторов будут сходиться к самолету, пересекаясь под прямым углом.

из коллекции ЛЭТИ

Задача № 51. Хулахуп!

Четверг, мая 7, 2009

Тонкий обруч массой m и диаметром D установили на горизонтальной плоскости под небольшим углом A к вертикали и катнули, придав начальную скорость v. Какую траекторию опишет точка касания обруча и плоскости до его полной остановки? Коэффициент трения качения обруча по плоскости равен k.

Задача № 50. Лесничий полуостров.

Среда, мая 6, 2009

Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?

Задача № 49. Скромность украшает треугольник.

Пятница, мая 1, 2009

Внутри круга отмечена точка H. Вписать в круг треугольник наименьшей площади с ортоцентром в точке Н.

форум братьев по разуму

Задача № 48. Ползучие вершины.

Пятница, мая 1, 2009

На плоскости даны три параллельные прямые. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Пятая Всероссийская олимпиада по геометрии