Архив на месяц ноября, 2010

Задача № 142. Секучесть секомых.

Воскресенье, ноября 28, 2010

Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA на прямую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC. Через точки B и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках P и Q, а вторая — в точках M и N. Прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.

ЦРДО им. Бернулли

Задача № 141. Неуравновешенный обод.

Суббота, ноября 27, 2010

Имеется обод велосипедного колеса диаметром d, способный стоять или катиться по горизонтальной плоскости, оставаясь в вертикальной плоскости. Вдоль хорды AB обода натянута струна длиной t. На струне в точках P и Q укреплены шары массами M и m соответственно. |AP|=a, |PQ|=b. Найти точки обода, стоя на которых он будет находиться в равновесии. В какой из них равновесие будет устойчивым?

Задача № 140. Полосатые обои для куба.

Четверг, ноября 25, 2010

Каким минимальным числом полос изоленты шириной 1 см можно обклеить куб с ребром N см, использовав при этом минимальное количество изоленты, если ленты можно клеить только параллельно ребрам куба?

Е. Скляревский. По следам problems.ru

Задача № 139. Пересечение касаний.

Четверг, ноября 25, 2010

На диаметре AB окружности выбрана произвольно точка D. Перпендикуляр к AB, проведенный через точку D, пересекает окружность в точке C. На AD и DB как на диаметрах построены окружности. Общая касательная к этим окружностям, пересекающая CD, касается их в точках M и N соответственно. Доказать, что отрезок AC проходит через точку M, а BC — через N.

Николай Москвитин

Задача № 138. Суверенная сумма!

Четверг, ноября 18, 2010

Доказать: сумма квадратов расстояний от некоторой точки окружности одного основания цилиндра до концов некоторого диаметра окружности противоположного основания (высота цилиндра и радиус основания считаются постоянными) не зависит ни от выбора точки, ни от выбора диаметра.

Николай Москвитин

Задача № 137. Магическое равенство.

Четверг, ноября 11, 2010

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведены биссектриса AD, высота BE. Биссектриса BF угла ABE и биссектриса BG угла EBC пересекают биссектрису AD в точках J и I соответственно.
Доказать: ΙΒ=IJ=IG=IE.

Николай Москвитин

Задача № 136. Неожиданное равенство.

Четверг, ноября 11, 2010

В квадрате ABCD отмечены середины Е и F двух соседних сторон BC и CD соответственно и проведены прямые AE и BF, пересекающиеся в точке G. Около квадрата описана окружность. Точка пересечения прямой AE с нею- точка H. Доказать: GE=EH.

Николай Москвитин

Задача № 135. Легким движеньем…

Четверг, ноября 11, 2010

Дано: треугольник ABC. Известно, что высота BD образует со стороной BC угол в 45 градусов. Считается, что прямая BD, содержащая высоту, уже построена. Как всего одним движением циркуля построить ортоцентр треугольника ABC?

Николай Москвитин

Задача № 134. Утверждение равнобокой трапеции.

Четверг, ноября 11, 2010

Дана равнобедренная трапеция. Доказать следующие утверждения:
1)Точки пересечения прямых, проходящих через вершины тупых углов трапеции и образующих (попарно) равные углы одна с верхним основанием, другая с боковой стороной трапеции, и вершины тупых углов лежат на одной окружности.
2)Центр этой окружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам трапеции, проходящих через эти вершины, причём угол, образуемый этими прямыми, в два раза больше осторого угла трапеции. (аналогичные утверждения можно вывести для другого основания с той оговоркой, что во втором утверждении указанный угол будет больше 180 градусов.)

Николай Москвитин

Задача № 133. Гур Эмир и птицы.

Вторник, ноября 9, 2010

Радиус купола R, коэффициент трения лапок птиц о купол k. Сколько птиц поместится на куполе, если одна птица занимает площадь S? Еще надо уточнить, что птички — неделимые, недеформируемые кружки площадью S.

pticy_na_kupole

Е.С. Скляревский Компот

Задача № 132. Параболический трамплин.

Вторник, ноября 9, 2010

Мячик скатывается под действием силы тяжести по обрезанному параболическому трамплину y(x)=(x-a)^2+b — находясь в начальный момент в точке x=0 y=a^2+b, a и b>0 — определить в какой точке обрезать параболу, чтоб дальность полета была максимальной.

YuK

Задача № 131. Артразлёт

Четверг, ноября 4, 2010

Двухметровая доска лежит на асфальте одним концом, середина доски опирается на трубу. На конце доски буртик, в который упираются уложенные в продольный желобок доски в ряд десять теннисных мячей. Угол наклона доски в первоначальном состоянии 20 градусов к горизонту. На второй конец доски с высоты 1 метр бросают пудовую гирю. На каком расстоянии друг от друга приземлятся мячи?

tennisnye_myachi

Задача № 130. Колбошарик

Четверг, ноября 4, 2010

Имеется тонкостенная коническая колба диаметром у основания 100 мм, углом при вершине конуса 90 градусов, с цилиндрическим горлышком диаметром 20 мм. В колбу пропихнули эластичный резиновый шарик диаметром 50 мм и плотностью 0,5 г/см^3. Колбу затем наполнили водой и опрокинули. Сколько воды останется в колбе, если при касании шариком стенки колбы или её горлышка, он запирает собой отверстие?