Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?
Построить окружность, проходящую через данную точку и касательную к двум данным окружностям.
Имеются два одинаковых больших шара радиуса R, два одинаковых малых шара радиуса r, весьма длинный цилиндр радиуса p и плоскость. Всего шесть предметов. Как они расположены в пространстве – не сказано, но известно, что каждый из этих шести предметов касается остальных пяти, причем цилиндр касается плоскости по образующей, а шаров – боковой поверхностью. Зная радиус r малых шаров, найти радиусы R больших шаров и p цилиндра.
Б. Делоне, О. Житомирский
Даны окружность и точка А вне её. Пусть окружность, проходящая через А, касается данной в произвольной точке В, а касательные к ней, проведенные через точки А и В, пересекаются в точке М. Найти множество точек М.
И.Ф. Шарыгин
Постройте окружность, касательные к которой, проведенные из трех данных точек A, B и C, имели бы длины a, b и c соответственно.
problems.ru
Длины сторон четырёхугольника, описанного около окружности радиуса R, взятые последовательно, образуют геометрическую прогрессию. Найти площадь четырёхугольника.
И.Ф. Шарыгин, Задачи по геометрии, М. «Наука», 1982
Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
Построить равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной оружности, вторая на данной прямой, а третья в данной точке.
Б. Делоне, О. Житомирский
Говорят, что в катафотах, световозвращателях используется уголковый отражатель в виде примыкающих друг к другу трех взаимноперпендикулярных зеркал, как, например, внутренняя поверхность срезанной вершины куба. С какой бы стороны ни попал луч света на уголковый отражатель, отраженный луч уйдет точно в том же направлении, откуда пришел. Как это доказать?
На карте указаны отрезки трёх прямолинейных дорог,
соединяющих три деревни, но сами деревни расположены за пределами
карты. Кроме того, на карте не указана пожарная часть, находящаяся
на равном расстоянии от трёх деревень, хотя место её расположения
находится в пределах карты. Можно ли найти это место с помощью
циркуля и линейки, если проводить построения только в пределах карты?
Фольклор
С помощью циркуля и линейки восстановить треугольник по его описанной окружности и точкам (следам) M, B и H пересечения с ней продолжений медианы, биссектрисы и высоты, опущенных из одной вершины.
Из коллекции пользователя Sabit
На плоскости имеются окружность и прямая произвольного положения. На прямой отмечена точка А. Построить окружность, касающуюся данной окружности и касающуюся данной прямой в точке А.
Из коллекции пользователя Sabit
С помощью циркуля и линейки построить на плоскости радиус данного шара.
Известна теорема Мансиона:
Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Рискнем распространить ее на пространственные формы:
Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной сфер тетраэдра, делится описанной сферой пополам.
Докажите или опровергните.
Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники ABC, основания которых являются диаметрами этой окружности, не пересекающие MN, а стороны АС и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABС, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.
Квант. М1276. Е. Куланин
