В горизонтальной металлической плите имеется лунка в форме полусферы радиусом R. Стержень длиной L лежит одним концом в лунке, второй конец торчит. Трение между стержнем и лункой отсутствует. Найти угол стержня к горизонту.
Бильярдный стол имеет размеры 10 на 5. На этом столе в одиночестве лежит шар. Игрок бьёт по шару так, что тот, отразившись от четырёх бортов, возвращается в исходную точку. Чему будет равна длина пути, пройденного шаром?
possward.blogspot.com
А в невесомости в вакууме внутри параллелепипеда 5х10х16 ? Игрок бьёт по шару так, что тот, отразившись от каждой из шести граней по одному разу, возвращается в исходную точку. Чему будет равна длина пути, пройденного шаром?
В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC, угол при вершине B равен 20°. Из вершины A проведена прямая под углом 25° к основанию AC до пересечения со стороной BC в точке E. Из вершины С проведена прямая под углом 65° к основанию AC до пересечения со стороной AB в точке G. Найти угол CGE.
www.gogeometry.com
В треугольнике ABC проведена чевиана BD=AC, причем величины углов составляют DBC=2x, BAC=3x, DCB=4x. Найти величину угла x.
Antonio Gutierrez
Дана окружность (центр не отмечен). С помощью только циркуля построить вершины квадрата, вписанного в эту окружность.
4 спички выкладываются под прямым углом «крестиком» так что соседние головки касаются. Следующие 4 спички выкладываются биссектрисами углов, так, что головки касаются предыдущих спичек.
Потом добавляются 8 спичек по биссектрисам и так далее. Выдерживается правило: головки на каждом этапе расположены на одном радиусе.
1. На каком радиусе будут лежать головки спичек N-го этапа, если ширина спичек m а радиус головок r?
2. Та же задача для первоначальной группы из трех, пяти,…. k спичек.
3. Ну и легкий вопрос о количестве спичек в N-ном ряду и в N рядах.
Из коллекции Софуса Тромгольта
Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусов (пушка приподнята над землей). Найти линию, огибающую все траектории снарядов.
Е.Скляревский
В прямоугольной системе Декартовых координат дано семь точек: A(0;0); B(0;2); C(1;4); D(3;5); E(5;4); F(6;2); G(6;0). Назовём семиугольник ABCDEFG «холмом». Требуется разрезать его на 9 частей, чтобы из них можно было составить четыре квадрата с площадями 9,9,5,1.
М. Москвитин, А.Заславский
P.S. Найдены решения разбивки и на 8 частей для получения того же результата. Может быть, удастся найти решение и с 7-ю частями?
Точки A и B подвеса концов невесомого нерастяжимого каната длиной L находятся на неподвижных опорах высотой Ha и Hb, расстояние между основаниями опор по горизонтали равно с. Нетрудно найти траекторию движения канатоходца, идущего по такому канату. Но какова будет траектория движения канатоходца массой m по канату массой M при тех же условиях подвеса каната?
Вокруг квадрата ABCD описана окружность с центром О, на дуге AB (меньшей) отмечена точка E, прямая EO пересекает окружность в точке F, середины отрезков CE и BC — точки K и L соответственно. Доказать: диагональ квадрата AC, отрезки FK и DL пересекаются в одной точке.
Н. Москвитин
Дан треугольник ABC с длинами сторон BC=a, AC=b, AB=c. Прямые l1 и l2, образующие угол d, делят его на три равновеликие части. Найти геометрическое место вершин угла d.
Николай Москвитин
В горизонтальной плоскости P расположены две взаимно перпендикулярные прямые x и y, пересекающиеся в точке O. В вертикальной плоскости V, перпендикулярной биссектрисе угла между прямыми x и y и содержащей точку O, расположена окружность радиуса a, касающаяся плоскости P в точке O. В плоскости V также расположена концентричная первой окружность радиуса a-1. Окружности, оставаясь вертикальными и концентрическими, начинают перемещаться в направлении биссектрисы угла между x и y так, что большая окружность все время касается прямых x и y. Какую кривую образуют точки пересечения малой окружности с плоскостью P? Найти её уравнение.
Диагональ делит ромб со стороной а на два треугольника, в которые вписаны окружности. Вторая диагональ также делит ромб на два треугольника и в них тоже вписаны окружности. При каком отношении диагоналей сумма площадей всех четырех окружностей будет наибольшей?
Е. Скляревский
Танк вышел на позицию и с первого же выстрела поразил учебную мишень. Башня была повернута влево от продольной оси танка на 30°, угол возвышения ствола составлял 15°. По учебному заданию танкистам необходимо было произвести еще один контрольный выстрел по той же мишени, однако, после первого выстрела грунт под левой гусеницей просел, и танк получил крен на левый борт в 10°. Какие поправки на углы наводки должны ввести танкисты, чтобы снова поразить цель?
Из крана периодически капает вода, капли падают вертикально в воду в бассейне, вертикальная стенка которого находится на расстоянии а от линии падения капель. При падении капля выбивает брызги с поверхности воды. Допустим, брызги разлетаются всегда под углом b к поверхности воды. Какую кривую образуют на стенке бассейна точки падения брызг на неё?
