Задача №238. Шариковое свойство параболы
Дата: сентября 11, 2013 Автор: baluШарик падает с высоты h на наклонную плоскость и прыгает по ней. Как зависит период прыжков от угла наклона плоскости а? Потерями на трение и соударения пренебречь.
Е.Скляревский
Задача №237. Тень башни
Дата: августа 25, 2013 Автор: baluКакую кривую (семейство кривых) описывает в течение года тень верхушки Ташкентской телебашни высотой 375 м?
Е. Скляревский
Задача №236. Сегментация
Дата: августа 14, 2013 Автор: baluДве окружности радиусов R (большая) и r (малая) имеют общую хорду AB. В малой окружности проведена хорда BC=AB. Известно, что площадь малого сегмента большой окружности, стягиваемого хордой AB, равна площади треугольника, составленного из хорд AB, BC и дуги AC малой окружности. В каком отношении находятся площади двух частей, на которые большая окружность разбивает малую?
Задача №235. Общая часть конусов
Дата: июня 27, 2013 Автор: baluВершина прямого кругового конуса расположена в вершине A куба ABCDA’B’C’D’, а основанием является окружность, построенная на диагонали BA’ грани ABB’A’ куба. Вершина второго прямого кругового конуса также совпадает с вершиной A куба, а основанием является окружность, построенная на диагонали A’D грани ADD’A’ куба. Найти отношение объема общей части конусов к объему куба.
Задача №234. Тайное равенство
Дата: июня 19, 2013 Автор: baluВ окружности проведён диаметр AB и хорда CD, пересекающая его в точке E под данным углом. Из точки A опущен перпендикуляр AK на CD, а из точки B — перпендикуляр BL на этот же отрезок.
Доказать: величина СE^2+ED^2+2(LE*KE-BL*AK) не зависит от выбора хорды CD.
Николай Москвитин
Задача №233. Центр тяжести улитки
Дата: июня 4, 2013 Автор: baluНайти центр тяжести фигуры, ограниченной последним витком логарифмической спирали вида r=ae^(bφ) и отрезком AB радиального луча OB.
Задача №232. Пересечение кубов
Дата: июня 1, 2013 Автор: baluКуб А со стороной 1 метр повернули на 45 градусов вокруг основной диагонали и получили куб Б. Найти площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б.
Квант
Дополним для остроты: и объем!
🙂
Задача №231. Путешествие по шестиугольнику
Дата: мая 29, 2013 Автор: baluВнутри правильного шестиугольника ABCDEF построена дуга AC с центром в B, а на EF как на диаметре построена полуокружность. Общая касательная дуги и полуокружности пересекает AF в точке X, а DE в точке Y. Найти длину отрезка XY.
mathisfunforum.com
Задача №230. Две суммы обратных величин.
Дата: мая 23, 2013 Автор: baluПусть I – центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, X и Y – точки касания окружности сторон AC и BC соответственно. Через I проведена прямая g, пересекающая стороны AC, BC и окружность в точках K, L, M, N (в таком порядке слева направо). P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точек X и Y на прямую g (точки P и Q находятся внутри окружности).
Доказать, что 1/KL+1/QM=1/MN+1/PL.
Задача №229. По следам 60 градусов.
Дата: мая 22, 2013 Автор: baluВ треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA1 и CC1. Срединный перпендикуляр к отрезку A1C1 пересекает прямую AC в точке E. Доказать, что треугольник A1C1E равносторонний.
Задача №228. Шестьдесят маленьких градусов.
Дата: мая 22, 2013 Автор: baluВ треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA_1 и CC_1. Серединный перпендикуляр к отрезку A_1C_1 пересекает прямую BC в точке D. Доказать: AC=CD.
Николай Москвитин
Задача №227. Пятая прямая
Дата: мая 18, 2013 Автор: baluВ некой профессии сотни лет решается разными способами следующая задача:
на плоскости имеются 4 прямые общего положения (не параллельны и не проходят через одну точку). Необходимо провести пятую прямую так, чтобы три расстояния между точками ее пересечения с четырьмя исходными прямыми были равны друг другу.
Как бы вы подошли к ее решению? Рассматриваются любые методы: аналитический, графический, с применением любых чертежных инструментов, «точные» и приближенные построения.
Задача №226. Соблюдаем фигуру
Дата: февраля 27, 2013 Автор: baluНа плоскости задан отрезок единичной длины. С помощью только циркуля построить фигуру площадью Пи/3+sin(Пи/3).
Задача №225. Рассечь периметр!
Дата: февраля 9, 2013 Автор: baluЧерез произвольно выбранную на стороне ВС треугольника ABC точку P провести прямую, разбивающую периметр треугольника в заданном отношении m/n. В каких пределах должно находиться отношение m/n, чтобы при данных известных длинах сторон треугольника и данном отношении CP/PB задача имела решение?