Архив на категорию ‘этюды’

Задача №238. Шариковое свойство параболы

Среда, сентября 11, 2013

Шарик падает с высоты h на наклонную плоскость и прыгает по ней. Как зависит период прыжков от угла наклона плоскости а? Потерями на трение и соударения пренебречь.

Е.Скляревский

Задача №237. Тень башни

Воскресенье, августа 25, 2013

Какую кривую (семейство кривых) описывает в течение года тень верхушки Ташкентской телебашни высотой 375 м?

Е. Скляревский

Задача №233. Центр тяжести улитки

Вторник, июня 4, 2013

Найти центр тяжести фигуры, ограниченной последним витком логарифмической спирали вида r=ae^(bφ) и отрезком AB радиального луча OB.
logarithm_spiral

Задача №227. Пятая прямая

Суббота, мая 18, 2013

В некой профессии сотни лет решается разными способами следующая задача:
на плоскости имеются 4 прямые общего положения (не параллельны и не проходят через одну точку). Необходимо провести пятую прямую так, чтобы три расстояния между точками ее пересечения с четырьмя исходными прямыми были равны друг другу.
Как бы вы подошли к ее решению? Рассматриваются любые методы: аналитический, графический, с применением любых чертежных инструментов, «точные» и приближенные построения.
4-d0bfd180d18fd0bcd18bd0b5-d0b8-d0bfd18fd182d0b0d18f

Задача №226. Соблюдаем фигуру

Среда, февраля 27, 2013

На плоскости задан отрезок единичной длины. С помощью только циркуля построить фигуру площадью Пи/3+sin(Пи/3).

Задача №219. Разбиение пространства

Пятница, декабря 28, 2012

На какое наибольшее число частей разбивают пространство икосаэдр и сфера? Можно ли вывести формулу по аналогичному вопросу для всех платоновых тел?

Задача №217. Объем воды

Понедельник, декабря 17, 2012

В герметичном тонкостенном сосуде, имеющем форму усеченной пирамиды, находится вода. Когда сосуд устанавливают на большее основание площадью S, уровень воды составляет 40% высоты сосуда. Когда же сосуд переворачивают и устанавливают на меньшее основание площадью s, уровень воды составляет 50% высоты сосуда. Какую часть объема сосуда занимает вода? Можно ли определить отношение S/s ?

Задача №216. Вывернуть цилиндр

Воскресенье, декабря 16, 2012

Из полосы бумаги склеен цилиндр высотой h и диаметром d. Оцените минимальное отношение h/d, при котором цилиндр можно вывернуть наизнанку без разрывов бумаги.

математический фольклор

Задача №205. Кособокая пирамида

Воскресенье, сентября 30, 2012

В основании пирамиды высотой h лежит правильный треугольник со стороной а. Найти соотношение, в котором находятся двугранные углы при основании пирамиды.

Задача №204. Погоня!

Четверг, сентября 20, 2012

Копытолап убегает по кругу диаметром D со скоростью V. Когтеклюв преследует его со скоростью U, начиная от центра круга и постоянно выдерживая курс точно на копытолапа. По какой траектории движется когтеклюв? При каком минимальном отношении U/V когтеклюв сможет догнать копытолапа? Возможно ли такое соотношение U>V, при котором когтеклюв не догонит копытолапа никогда?

Задача № 192. Spira mirabilis

Четверг, мая 31, 2012

Окружность касается соседних витков логарифмической спирали. Вторая окружность касается тех же двух витков спирали и касается первой окружности внешним образом.Третья касается тех же витков и второй окружности, так далее ряд окружностей продолжается. Доказать или опровергнуть утверждение: отношение диаметров любых двух соседних окружностей в описанном ряду есть величина постоянная для данной логарифмической спирали.

logaspir2

Задача № 184. Неваляшка.

Понедельник, января 16, 2012

Представьте себе куклу-неваляшку. Допустим, ее центр тяжести находится на высоте h над плоскостью опоры. Возможно ли ее нижней поверхности придать такую форму, чтобы время возвращения куклы из наклонного состояния в вертикальное не зависело от угла наклона?

Задача № 182. Маслопад.

Понедельник, октября 31, 2011

Авто поднято на подъемнике. От пола до днища картера 180 см. Ось маслосливной горловины наклонена к вертикали под 45°. На полу оцинкованное ведро посреди кучки опилок. Ловким движением туфли мастер устанавливает ведро так, что при съеме пробки масло точно попадает в ведро, и потом в процессе туфля пододвигает ведро еще пару раз. Можно ли сразу установить ведро так, чтоб пододвигать в процессе не приходилось до полной кончины масла, если высота и диаметр верхнего среза ведра равны 30 см, а глубина масла в картере 10 см?

Задача № 180. Сопроматическое кольцо.

Среда, августа 17, 2011

Какую форму приобретёт упругое кольцо, повешенное на гвоздь?

Задача № 179. Трубопрокатный след.

Вторник, июля 19, 2011

Коля и Петя из хулиганских исследовательских побуждений взяли трубу квадратного сечения за торцы и скрутили, повернув торцы друг относительно друга на 720 градусов. Ось трубы при этом осталась прямолинейной. Трубу прокатили по песку в направлении, перпендикулярном ее оси, слегка придавив её и сделав несколько оборотов, так, что вдоль её траектории не осталось не тронутых трубой участков песка. Попробуйте построить сечения следа на песке в направлении движения трубы и в направлении, параллельном оси трубы.