Задачи по геометрии

Всем известна «мерная линейка» — такая штуковина, её опускают вертикально в цистерну до дна, вытаскивают и по уровню намокшей части моментально определяют объём топлива в цистерне в литрах, проградуирована там шкала таким образом. Итак, юный, но весьма продвинутый, проектировщик автозаправочной станции счёл традиционное горизонтальное расположение ёмкости устарелым и решил расположить цилиндрическую наливную цистерну под углом. Расчертил всё, проставил размеры на чертеже и вспомнил, что необходимо к цистерне спроектировать и мерную линейку. И призадумался… Вы смогли бы ему помочь?

Блок радиусом R укреплен неподвижно и заклинен. В верхнем полюсе блока привязана и пропущена влево веревка длиной L, на конце веревки подвешен груз массой m. Груз отклонили влево так, что веревка отклонилась от вертикали на угол q. Груз отпустили. До какого угла w отклонится от вертикали веревка при движении такого маятника вправо?

Шарик для настольного тенниса (m=2,7 г, R=20 мм) заполнен наполовину растительным маслом (плотностью p=0,9 г/см^3) и опущен в пустой цилиндрический стакан радиуса 25 мм. Сколько воды нужно налить в стакан, чтобы шарик перестал опираться на дно стакана?

Тонкий обруч массой m и диаметром D установили на горизонтальной плоскости под небольшим углом A к вертикали и катнули, придав начальную скорость v. Какую траекторию опишет точка касания обруча и плоскости до его полной остановки? Коэффициент трения качения обруча по плоскости равен k.

Клоуны в перерыве между номерами играли за кулисами на бильярде. В пылу азарта один из них так ударил по шару, что шар вылетел со стола и, пробив бумажный колпак напарника, запрыгнул в горшок с пальмой, где и потерялся навеки. Расследуя обстоятельства пропажи шара, администратор цирка решил лично провести баллистическую экспертизу. Выполнив развертку пришедшего, заметьте, в негодность коническго колпака, администратор был весьма удивлен формой отверстий. И даже, что не характерно для администраторов, составил уравнение контура каждого отверстия. А вы можете повторить его подвиг?

На горизонтальной плоскости стоит вертикально тонкое кольцо радиуса R. Масса кольца M. С внутренней стороны кольцо имеет канавку, по которой может кататься без трения шарик радиуса r массой m. Шарик располагают в канавке в правой полюсной точке кольца и отпускают. Коэффициент трения качения кольца по плоскости равен k. Как далеко и в какую сторону укатится кольцо? По какой траектории будет двигаться шарик в неподвижной системе координат?

Вариация на тему задачи №5.
Прямой угол поворачивается вокруг эллипса, неотрывно касаясь эллипса обеими сторонами. Какую кривую описывает вершина угла?

В чёрной-чёрной комнате на чёрной-чёрной стене висят чёрные-чёрные часы. Длина часовой стрелки составляет половину минутной. Ровно в 12 часов концы часовой и минутной стрелки соединили натянутой резиновой нитью. Какую кривую опишет середина нити до следующей встречи стрелок?

Эллипс поворачивается, касаясь обеих сторон прямого угла. Какую кривую описывают фокусы эллипса? По какой линии перемещается центр эллипса? Какую кривую описывает точка пересечения нормалей к эллипсу, проведенных через точки касания сторон угла? А если угол не прямой?

Можно ли эллипс с эксцентриситетом е установить на плоскости, наклоненной под углом w к горизонту, так, что эллипс останется неподвижен?

Всем знакомый с детства вариатор. Два конических вала, ремень… Изменяется ли натяжение ремня при его перемещении? Если да, то какой формы должны быть валы (вместо конических), чтобы натяжение (соответственно и длина) ремня оставалось постоянным?