Архив на категорию ‘Задачи на вычисление’

Задача № 111. Циркулярные фантазии.

Среда, апреля 21, 2010

Можно ли одним раствором циркуля построить на листе бумаги кривую вида
y=b(1-((a/b)Sin(x/a))^2)^0,5

?

Задача № 110. Фокус с фокусами.

Вторник, апреля 20, 2010

Солнце в зените. На горизонтальной плоскости стоит вертикально круглый тонкий обруч диаметром D. Обруч начинает падать. Тень от обруча превращается в эллипс. Вы надеваете волшебные очки и видите, как сближаются фокусы эллипса. Шмяк! Обруч улегся горизонтально, фокусы слились в центре, волшебство исчезло. Допустим, обруч заваливался на бок с постоянной угловой скоростью w. Каков же был закон сближения (относительного движения) фокусов? А если обруч потерял равновесие и падал на бок под действием силы тяжести?

Задача № 109. Окружности нестандартного поведения.

Вторник, апреля 20, 2010

Две окружности касаются между собой в точке М, а радиусы окружностей различаются в полтора раза. Проведем диаметры АМ и ВМ. Известно, что длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
Найти радиусы окружностей.

Математический фольклор. Задача предложена Шухратом Исмаиловым на конкурсе «Учитель года-2010»

Задача № 108. ГМТ «С».

Понедельник, апреля 5, 2010

Дан отрезок AB, на котором выбрана точка L. Найти геометрическое место вершин С треугольников ABC, для которых CL — биссеткриса угла ACB.

Задача № 103. Бесподобное подобие!

Пятница, января 29, 2010

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найти АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.

мехмат МГУ

Задача № 101. Параболический треугольник.

Воскресенье, января 10, 2010

Составить из дуг парабол криволинейный треугольник наименьшей площади с заданными вершинами (стороны треугольника должны пересекаться только в вершинах и быть направлены выпуклостью внутрь).

Всесоюзные студенческие олимпиады

Задача № 95. Кадастррр! Кадастррр!

Четверг, декабря 24, 2009

Дан квадрат ABCD. Точки K и L являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезок KD пересекается с диагональю AC и отрезком AL в точках P и Q, соответственно. Найти площадь четырехугольника LQPC, если сторона квадрата равна 60.

Альхамов Р.Р.

Задача № 93. Треугольник с подвижным центром.

Вторник, декабря 22, 2009

Найти плоскую фигуру наименьшей площади, внутри которой возможен поворот равностороннего треугольника на 360 градусов.

Мишаня Дундило

Задача № 92. Предновогодние хлопоты.

Понедельник, декабря 21, 2009

Венчать новогоднюю ёлку в институте геодезии и картографии должен будет глазастый глобус размером с голову с нарисованной улыбкой в районе Фолклендских островов. Инженеры-картографы, закончив крепить резинки-венгерки на новогодние же карнавальные колпаки, шутки ради надели на глобус четыре колпака, и оказалось, что каждый из колпаков касается трех других на поверхности глобуса. Вот интересно, на какую параллель опирается колпак, надетый на северную макушку глобуса? И каково расстояние между верхушками колпаков, если длина экватора глобуса 56 см, а высота колпаков 40 см?

Задача № 91. Северное полушарие.

Понедельник, декабря 21, 2009

Дана правильная четырехугольная пирамида, противоположные боковые ребра которой перпендикулярны. В пирамиду вписан полушар, основание которого лежит на основании пирамиды. Радиус полушара равен 1. Найти объем пирамиды.

Альхамов Р.Р.

Задача № 90. Шарнирный четырехзвенник.

Пятница, декабря 18, 2009

В пространственном четрехугольнике со сторонами a, b, c, d стороны a и c скрещиваются под прямым углом. Кратчайший отрезок между a и c делит сторону a в отношении m:n. Найти длину этого отрезка (расстояние между сторонами a и c).

Задача № 89. Изумрудный шар.

Среда, декабря 9, 2009

В Изумрудном городе Гудвин не только хотел домой к маме и наслаждался роскошью. Пытливый ум фокусника не давал покоя глазам и рукам. Кроме того, поддержание волшебного имиджа требовало изобретательности и определенных усилий. Среди прочего исследовал он и свойства изумрудных шаров. Расположив свечу в двух ярдах от белой стены, он перемещал изумрудный шар диаметром в 1 дюйм от свечи к стене и наблюдал за изменением диаметра зелёного круга на стене, и даже вывел зависимость этого диаметра от расстояния между шаром и свечой. А Вы смогли бы?

Задача № 86. «Но в животе у Крокодила темно и тесно, и уныло…»

Суббота, ноября 28, 2009

Ёмкость автотопливозаправщика представляет собой цилиндр, имеющий в поперечном сечении эллипс с полуосями a и b. Ёмкость заполнена частично, уровень топлива h от дна ёмкости. Какую кривую огибает уровень топлива на поворотах? Какую кривую огибает уровень топлива при разгоне и торможении на прямолинейных участках дороги, если длина ёмкости l ? (Волнением топлива пренебрегаем, считаем поверхность плоской).

Задача № 84. Кораблекрушение.

Вторник, ноября 24, 2009

Тренируясь на совершенно круглом озере Кругл, юные серфингисты Ваня и Света настолько отдались азарту скорости, что не заметили друг друга за парусами и столкнулись на полном ходу.
— Ну, привет! Ты откуда?
— Так я из Рыбачьего в Плотинино прошла уже километра три, еще с километр и была бы на месте! А ты?
— А я с эллинга в Слимское шёл, ну около часа уже, еще бы полчаса, и там!
Оценив повреждения шверта Вани и степсового колодца Светы, а также невзаимозаменяемость, синяки и шишки, пришли к выводу о невозможности буксировки друг друга, уложили вооружение на импровизированный катамаран и, предавшись весёлым рассуждениям о превратностях моряцкой жизни, установили, что, пусть и движутся они без парусов в 10 раз медленнее Вани под парусом, всё равно через час ветер, дующий с середины озера, прибьёт их в аккурат к Скалистому берегу.
Каков же диаметр озера Кругл?

Задача № 83. Кольцо на нити.

Понедельник, ноября 23, 2009

На вертикально установленной доске в точках A и B закреплены концы нити длиной l > AB. Отрезок AB образует острый угол a с вертикалью. Надетое на нить кольцо в состоянии равновесия находится в точке C. Найти отношение, в котором кольцо делит нить. Массой нити пренебречь. (Рассмотреть два варианта: 1) кольцо свободно скользит по нити; 2) кольцо закреплено на нити.)

Из коллекции validolum