«
»

Задача № 171. Две замечательные формулы для треугольника.

Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .

«Полином», №1, 2010

Эта запись опубликована Среда, марта 30, 2011 в 23:51 и находится в категории: задачи на доказательство, Классика, треугольник. Вы можите читать эту запись через RSS 2.0 поток. Вы также можите оставить комментарий, или поставить trackback со своего сайта.

Один комментарий на “Задача № 171. Две замечательные формулы для треугольника.”

  1. Василий Котеночкин сказал:
    апреля 15, 2016 - 15:57

    Для 2) определённо опечатка слева p и r — имеют первую степень, тогда, как все остальные — вторую. Не соответствие единиц измерения.
    видимо следует читать 2(p^2 — r^2 — 4Rr)
    Cуммируем удвоенную первую со второй
    (a+b+c)^2 = 4p^2 , значит
    достаточно доказать какую-либо одну, вторая получится вычитанием из предыдущей строки.
    для первой
    r = S/p
    R = abc/4S
    4Rr = abc /p
    p^2+r^2+4Rr = p^2 + S^2/p^2 + abc/p
    Второе слагаемое (площадь по Герону)
    S^2/p^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)/p^2 = (p^2 — ap)(p^2 — bp — cp+bc)/p^2 = (ab + ac + bc) — p^2- abc/p
    Всё слагаемые справа, кроме (ab + ac + bc) взаимно уничтожаются.

Оставить комментарий