«
»

Задача № 172. Вписать 4 окружности.

Отрезками прямых, исходящими из вершин равностороннего треугольника, разбить его на четыре треугольника так, чтобы радиусы вписанных в них окружностей были равными.

Forum Geometricorum. Volume 5. 2005

Эта запись опубликована Четверг, марта 31, 2011 в 01:33 и находится в категории: Задачи на построение, Классика, треугольник. Вы можите читать эту запись через RSS 2.0 поток. Вы также можите оставить комментарий, или поставить trackback со своего сайта.

Один комментарий на “Задача № 172. Вписать 4 окружности.”

  1. В. Котёночкин сказал:
    мая 26, 2011 - 14:21

    Может кому-нибудь расчёты помогут при построении…

    Возможны три варианта
    1) Все отрезки исходят из одной вершины
    2) Из одной вершины исходит два отрезка, из другой один отрезок (что-то жуткое, даже пробовать не хочется)
    3) Из каждой вершины исходит по одному отрезку

    Вариант 1
    Все отрезки исходят из одной вершины.
    Симметрично относительно высоты ВН равностороннего треугольника АВС со стороной равной а
    Треугольник СВН (угол Н прямой, угол HBC = 30 градусов) CB = a, BH = a sqrt(3)/2, CH = a/2
    Если считаем, что треугольник делится отрезком ВЕ, то обозначив НЕ за х, получаем
    Для треугольника ВНЕ
    Площадь S(BHE) = HE * BH / 2 = a x sqrt(3)/4
    Периметр P(BHE) = HE + BH + BE = x + a sqrt(3)/2 + sqrt(x^2 + 0,75 a^2)
    Для треугольника ВЕC
    Площадь S(BEC) = EC * BH / 2 = a (0,5a — x) sqrt(3)/4
    Периметр P(BEC) = EC + BC + BE = (0,5a-x) + a + sqrt(x^2 + 0,75 a^2)
    r = S(BHE) / P(BHE) = S(BEC) / P(BEC)
    S(BHE) P(BEC) = S(BEC) P(BHE)
    (0,25 a x sqrt(3) ) * (1,5a — x + sqrt(x^2 + 0,75 a^2)) =
    =0,25 a (0,5 a — x) sqrt(3) (x + a sqrt(3)/2 + sqrt(x^2 + 0,75 a^2)) ;
    x = 0,5 a sqrt(sqrt(3) — 1,5))
    Для построения достаточно
    ————————
    Вариант 3
    Все отрезки исходят из разных вершин
    Внутри треугольника АВС со стороной равной а лежит треугольник MKL, причём
    КМ лежит на одной прямой с А
    LM лежит на одной прямой с В
    KL лежит на одной прямой с С
    В каждом из четырёх полученных треугольников вписана окружность радиуса r. В силу симметрии рассматриваем только окружность в треугольнике АКС
    Точки касания окружности (центр O)
    F — на стороне АК
    Е — на стороне КС
    D — на стороне АС

    FK = KE = r * tg pi/6 = r sqrt(3)/3
    AF + EC = AD + DC = a
    Периметр АКС P = AF + AD + FK + KE + EC + CD = 2a + (2sqrt(3) r /3) = (6a + 2r sqrt(3))/3

    Для треугольника KLM
    h = 3r
    MK = h/(sqrt(3)/2) = 2 sqrt(3)h/3 = 2 sqrt(3) r
    Площадь MKL равна 3 sqrt(3) r^2
    Площадь АВС равна a^2 sqrt(3)/4
    Площадь АКС S= sqrt(3) (0,25 a^2 — 3 r^2)/3
    r = 2S/P = 2 sqrt(3) (0,25 a^2 — 3 r^2) / (6a + 2r sqrt(3))
    6ar + 2r^2 sqrt(3) = 0,5 a^2 sqrt(3) — 6 sqrt(3) r^2
    8 r^2 sqrt(3) + 6 a r — 0,5 sqrt(3) a^2 = 0
    r1,2 = (-6a + — sqrt(36 a^2 + 48 a^2))/ 16sqrt(3)
    Отрицательный корень отбрасываем
    r = (sqrt(84) — 6)a /16 sqrt(3) = (sqrt(7) — sqrt(3)) a /8
    В сущности для построения тоже достаточно, но будет проще, если найдём все стороны треугольника AKC
    MK = 2 sqrt(3) r = 2 sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a /8
    P = (6a + 2r sqrt(3))/3 = 2a + (2 sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a)/24
    АМ = ЕС
    АК = АМ + MK
    AK + KC = 2 KC + MK
    С другой стороны AK + KC = P — a
    P — a = 2KC + MK
    КС = (P — MK — a)/2 = 0,5( a + (2 sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a)/24 — 2 sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a / 8=
    = 0,5 (a — 4sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a /24 )
    AK = KC + MK = 0,5 (a — 4sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a /24 ) +2 sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a / 8=
    0,5(a + sqrt(3)(sqrt(7) — sqrt(3)) a /3)

Оставить комментарий