Задачи по геометрии

Стороны и высота треугольника выражаются четырьмя последовательными целыми числами. Чему равна площадь этого треугольника?

_{Г.Э. Дьюдени}

На плоскости проведены четыре прямые, попарно не параллельные друг другу. Доказать, что ортоцентры четырех получившихся треугольников лежат на одной прямой.

_{сетевой фольклор}

На диаметре AB окружности выбрана произвольно точка D. Перпендикуляр к AB, проведенный через точку D, пересекает окружность в точке C. На AD и DB как на диаметрах построены окружности. Общая касательная к этим окружностям, пересекающая CD, касается их в точках M и N соответственно. Доказать, что отрезок AC проходит через точку M, а BC — через N.

_{Николай Москвитин}

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведены биссектриса AD, высота BE. Биссектриса BF угла ABE и биссектриса BG угла EBC пересекают биссектрису AD в точках J и I соответственно.
Доказать: ΙΒ=IJ=IG=IE.

_{Николай Москвитин}

Дано: треугольник ABC. Известно, что высота BD образует со стороной BC угол в 45 градусов. Считается, что прямая BD, содержащая высоту, уже построена. Как всего одним движением циркуля построить ортоцентр треугольника ABC?

_{Николай Москвитин}

Вписать в остроугольный треугольник ABC треугольник KLM минимального периметра (с вершинами K на AB, L на BC, M на CA).

_{В.И. Арнольд}

Найти внутри данного треугольника АВС такую точку T, что площади треугольников АTС, ВTС и АTВ относятся, как n : m : k.

Из вершин треугольника проведены прямые, каждая из которых делит противоположную сторону в отношении m/n. Найти площадь треугольника, образованного взаимным пересечением этих трех прямых.
_{старинная арбузная тема}

Угол при вершине B треугольника ABC составляет 120 градусов. Продолжение биссектрисы угла B пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Докажите, что BL= AB + BC.

Дан отрезок AB, на котором выбрана точка L. Найти геометрическое место вершин С треугольников ABC, для которых CL — биссеткриса угла ACB.

Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

_uForum

Докажите, что в любом треугольнике биссектриса любого угла делит пополам угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведенными из той же вершины, что и биссектриса.
_{«Квант», 1999, №3.}

В треугольнике АВС АС=(АВ+ВС)/2. Докажите, что центр вписанной в треугольник АВС окружности, середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.

_{ЕГЭ_тренер.ру}

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найти АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.

_{мехмат МГУ}

Составить из дуг парабол криволинейный треугольник наименьшей площади с заданными вершинами (стороны треугольника должны пересекаться только в вершинах и быть направлены выпуклостью внутрь).

_{Всесоюзные студенческие олимпиады}