Доказать: сумма квадратов расстояний от некоторой точки окружности одного основания цилиндра до концов некоторого диаметра окружности противоположного основания (высота цилиндра и радиус основания считаются постоянными) не зависит ни от выбора точки, ни от выбора диаметра.
Николай Москвитин
Радиус купола R, коэффициент трения лапок птиц о купол k. Сколько птиц поместится на куполе, если одна птица занимает площадь S? Еще надо уточнить, что птички — неделимые, недеформируемые кружки площадью S.
Е.С. Скляревский Компот
Двухметровая доска лежит на асфальте одним концом, середина доски опирается на трубу. На конце доски буртик, в который упираются уложенные в продольный желобок доски в ряд десять теннисных мячей. Угол наклона доски в первоначальном состоянии 20 градусов к горизонту. На второй конец доски с высоты 1 метр бросают пудовую гирю. На каком расстоянии друг от друга приземлятся мячи?
Имеется тонкостенная коническая колба диаметром у основания 100 мм, углом при вершине конуса 90 градусов, с цилиндрическим горлышком диаметром 20 мм. В колбу пропихнули эластичный резиновый шарик диаметром 50 мм и плотностью 0,5 г/см^3. Колбу затем наполнили водой и опрокинули. Сколько воды останется в колбе, если при касании шариком стенки колбы или её горлышка, он запирает собой отверстие?
Суммарный объем двух кубиков равен 17. Не могли бы Вы указать их точные размеры?
По следам Домашнего задания
На плоскость, наклоненную к горизонту под углом бета, кладут монолитную шестигранную прямоугольную призму так, что её продольная ось параллельна горизонту, и отпускают. Случись покатившейся призме подпрыгнуть или, приземлившись, удариться о плоскость, удар будет абсолютно упругим. Скольжение между плоскостью и призмой отсутствует. Найдется ли такой угол бета, при котором покатившаяся и ненароком оторвавшаяся от плоскости призма приземлится на наклонную плоскость точно какой-либо из своих боковых граней (ну то есть не ударится о неё ребром, высекая искры, а шлёпнется всей боковой гранью плашмя)?
Внутри окружности выбраны произвольно две точки A и B. Найти такое направление луча из точки A, чтобы отраженный от окружности луч попал в точку B.
Угол при вершине B треугольника ABC составляет 120 градусов. Продолжение биссектрисы угла B пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Докажите, что BL= AB + BC.
Вавилонская башня. По боковой поверхности конуса винтовая лестница. При постоянном шаге винта угол подъема лестницы по мере приближения к верхушке башни увеличивается. А можно ли построить сужающуюся кверху башню такой формы, чтобы и шаг винта лестницы был постоянным, и угол её подъема сохранялся одинаковым от подножья до верхушки?
На плоскости начерчен угол и точка P внутри угла. Кроме того, вне угла имеется отрезок AB. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить проходящий через точку P отрезок длиною AB, концы которого лежат на сторонах угла?
На плоскости лежат, касаясь друг друга, два шара радиусов R и r. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся двух данных. Интересно составить уравнение кривой пересечения ГМТ с опорной плоскостью шаров. Если ГМТ разбивает пространство на два полупространства, можно ли оценить отношение частей объема «меньшего» из них, на которые разбивает его опорная плоскость?
В большом неподвижном колесе R водило V длиной R/2 начинают вращать вокруг центра O с угловым ускорением ε до поворота его на 180 градусов, после чего вращение замедляют с тем же ускорением до остановки его в начальной точке. При этом малое колесо R/2, ось вращения которого находится на конце водила в точке Q, катится по большому благодаря зубчатому зацеплению. В точке контакта колес перед началом движения K на оси, расположенной на малом колесе, подвешена (с возможностью вращения вокруг этой оси) спецлюлька, куда инкапсулирован космонавт. Какую максимальную перегрузку испытает космонавт?
в процессе испытаний все были пристегнуты ремнями безопасности, и никто не пострадал
На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Необходимо опустить из точки перпендикуляр на прямую с помощью односторонней линейки и циркуля, причем циркулем можно воспользоваться только один раз, для того чтобы нарисовать дугу/окружность или сделать засечки (с одним центром, не меняя радиус).
JH со ссылкой на фольклор НГУ
В горизонтальной плите имеется лунка в форме полусферы радиусом R. Тонкий стержень длиной L лежит одним концом в лунке, второй конец торчит. Трение между стержнем и лункой отсутствует. Найти угол стержня к горизонту.
Форум СПбГУ
Вот среди ночи тайком взяли Вы, к примеру, конус из детского набора деревянных фигур и из баловства, ну вот буквально от нечего делать, не задумываясь, начертили у него на боку циркулем «окружность». Ну и конечно же заметили, что окружность какая-то не круглая. И на развертке конуса не круглая. И вообще никак не круглая. И решили составить уравнение этой кривулины на развертке конуса. Вот и мучайтесь! Да. А я спать пошел. 🙂
