На чертеже имеются две прямые, точка пересечения которых лежит за пределами чертежа, и произвольная точка P. Необходимо с помощью односторонней линейки построить прямую, проходящую через точку P и точку пересечения данных прямых.
На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Необходимо опустить из точки перпендикуляр на прямую с помощью односторонней линейки и циркуля, причем циркулем можно воспользоваться только один раз, для того чтобы нарисовать дугу/окружность или сделать засечки (с одним центром, не меняя радиус).
JH со ссылкой на фольклор НГУ
На стороне AD ромба ABCD взята точка M. Доказать, что окружности, вписанные в треугольники ABM, BMC и CMD, имеют общую касательную.
О.П. Зеленяк
Две окружности касаются между собой в точке М, а радиусы окружностей различаются в полтора раза. Проведем диаметры АМ и ВМ. Известно, что длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
Найти радиусы окружностей.
Математический фольклор. Задача предложена Шухратом Исмаиловым на конкурсе «Учитель года-2010»
Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
Докажите, что в любом треугольнике биссектриса любого угла делит пополам угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведенными из той же вершины, что и биссектриса.
«Квант», 1999, №3.
В треугольнике АВС АС=(АВ+ВС)/2. Докажите, что центр вписанной в треугольник АВС окружности, середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найти АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.
мехмат МГУ
Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
Прасолов В.В.
Даны три пересекающиеся плоскости, не имеющие общей прямой. Найти геометрическое место таких точек, сумма расстояний от которых до данных плоскостей постоянна.
И.Ф. Шарыгин
На плоскости заданы две окружности и точка, через которую с помощью циркуля и линейки необходимо провести прямую, отсекающую на обеих окружностях равные хорды.
Известно, что бассейн глубиной H наполняется за 17 часов, а наполненный бассейн опорожняется через сливное отверстие также за 17 часов. Что произойдет, если начать наполнять бассейн при открытом сливном отверстии? Что произойдет, если при наполненном бассейне, не закрывая наливную трубу, открыть сливное отверстие? Некоторые полагают, что в обоих случаях, независимо от последовательности открытия наливной и сливной труб и промежутка времени между этими событиями, через некоторое время уровень воды в бассейне стабилизируется на некоторой отметке. На какой же?
Прямые, проведенные через точку А, касаются окружности с центром О в точках В и С. D — точка пересечения отрезка АО с окружностью. Точка X — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на CD. Y — середина отрезка BX. Z — точка пересечения DY с окружностью. Доказать, что угол AZC прямой.
Форум MathLinks
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине С проведена высота CD. Некоторая точка K в плоскости треугольника находится от вершины A на расстоянии, равном AC, при этом точка O является центром окружности, проходящей через точки A, B, K. Докажите, что отрезок DK перпендикулярен AO.
Блог Синаджексона
