Отрезками прямых, исходящими из вершин равностороннего треугольника, разбить его на четыре треугольника так, чтобы радиусы вписанных в них окружностей были равными.
Forum Geometricorum. Volume 5. 2005
Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .
«Полином», №1, 2010
На стороне АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) как на диаметре построена окружность, пересекающая АВ в точке Е. Медиана АD и отрезок СЕ пересекаются в точке Р. Найти площадь треугольника АВС, если РС=7, РЕ=3.
webmath.ru
Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что 
университетский фольклор
На плоскости дана точка P. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого отстоит от точки P на расстояние 2, вторая — на 3, а третья — на 4 (выбранных единиц длины).
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer
Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках D, E, F. Пусть K, L, M — точки пересечения сторон треугольника DEF с биссектрисами треугольника ABC . Доказать, что продолжения отрезков KL, LM и KM отсекают от треугольника ABC три ромба.
Н. Москвитин
Внутри данного угла выбрана произвольная точка P. С центром в точке P проведена окружность радиусом R. Можно ли с помощью циркуля и линейки провести касательную к этой окружности так, что точка касания делила бы пополам отрезок, отсекаемый от касательной сторонами угла?
В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, пересекающиеся в точке H. G — середина стороны AB. Прямые AB и DE пересекаются в точке F. Докажите, что прямые CF и GH перпендикулярны.
dxdy.ru
Около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. В треугольнике проведены все высоты. Точка их пересечения F. Высота CE продолжена до пересечения с данной окружностью в точке G. Около треугольника GBF описана окружность. Доказать, что высота AD является касается второй окружности в точке F.
Н. Москвитин
На окружности радиуса R отмечены последовательно точки A, B, C, D, M. На дугу AB опирается угол α, на дугу BC — угол β, на дугу CD — угол γ. Ломаную вдоль хорд ABCD выполнили из проволоки постоянного сечения и установили точкой C на рычажные весы V. Если α и β известны, при каком угле γ проволока будет находиться в равновесии? Зависит ли γ от R?
На стороне остроугольного треугольника обнаружить такую точку M, из которой луч света, пущенный под некоторым углом, отразившись последовательно от двух других сторон треугольника, вернулся бы в исходную точку M.
На односторонней линейке отмечены концы отрезка. Докажите, что с помощью этой линейки можно построить со сколь угодно большой точностью равносторонний треугольник со стороной, равной этому отрезку.
Николай Москвитин
Дан треугольник ABC. Построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольника.
задача Мальфатти
Дана окружность с центром O; радиус OA; касательная AB; отрезок BO пересекает окружность в точке С; прямая DC, перпендикулярная прямой AB (будем считать, что D принадлежит отрезку AB) пересекает окружность в точке E; диаметр EF.
После всей этой неразберихи требуется доказать, что точка A равноудалена от прямых CD, OB и EF.
Николай Москвитин
На плоскости начерчены две пересекающиеся окружности радиусов r1 и r2. Можно ли с помощью циркуля и линейки провести третью окружность заданного радиуса r3 так, чтобы она проходила через точку пересечения двух первых и отсекала на них дуги, стягиваемые равными хордами?
