В равностороннем треугольнике ABC окружность O касается стороны AC в точке T, а стороны AB и BC пересекает в точках D,E и F,G соответственно. Доказать, что AT + BD + BE = CT + BF + BG.
Вокруг квадрата описана окружность с центром O, проведены диагонали AC и BD; на дуге CD взята произвольная точка G и в ней к окружности проведены касательная. Диагонали BD и AC пересекают её в точках E и H соответственно. Из E проведена вторая касательная к описанной окружности, точка касания — F. BF пересекает диагональ AC в точке I. Доказать: углы GID и IHD равны.
Николай Москвитин
Две окружности касаются внутренним образом в точке A; центры их- O1 и O2 (первая меньшая, вторая большая), на касательной к окружностям в точке A отмечена точка N, из N проведены касательные к большей и меньшей окружности- NC и NB соответственно; прямая BC пересекает прямую NO1 в точке L, NO1 пересекает большую окружность в точках K и P. Доказать: PL=LK.
Николай Москвитин
Окружность касается соседних витков логарифмической спирали. Вторая окружность касается тех же двух витков спирали и касается первой окружности внешним образом.Третья касается тех же витков и второй окружности, так далее ряд окружностей продолжается. Доказать или опровергнуть утверждение: отношение диаметров любых двух соседних окружностей в описанном ряду есть величина постоянная для данной логарифмической спирали.
В основании пирамиды правильный треугольник со стороной a. Высота пирамиды составляет a*3^0,5. Один из двугранных углов при основании пирамиды прямой. Величины остальных двух двугранных углов при основании пирамиды находятся в отношении 1:2. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1, ортоцентр H, центр окружности Эйлера E, центр описанной окружности треугольника AHB — O1. Доказать: С, E, O1 лежат на одной прямой.
Николай Москвитин
Найти объем треугольной пирамиды, у которой непересекающиеся ребра равны между собой и равны соответственно а, b и с.
В окружности с центром O проведён диаметр AB, на ней взяты точки С и E, из них опущены перпендикуляры на диаметр AB- CD и EF соответственно, причём CD=2EF, и точки D и F принадлежат радиусу OA. Отрезок BE пересекает CD в точке G. Через С проведена хорда CH, равная CD.
Доказать: A,G,H лежат на одной прямой.
Николай Москвитин
Четырёхугольник ABCD-вписанный; BD-диаметр, AD+CD=a, BD=d, угол ABC=alpha. Найти стороны четырёхугольника.
Николай Москвитин
Дана окружность без центра, хорда AB, на окружности взята точка С и из неё на AB опущен перпендикуляр CD так, что D лежит на AB. Построить с помощью циркуля и линейки за два шага такую точку E на дуге AB, чтобы прямая EF, перпендикулярная AB, отсекала бы от окружности хорду, равную CD.
Николай Москвитин
Четырёхугольник ABCD — вписанный; BD — диаметр, AD+CD=a, BD=d, угол ABC=b. Найти стороны четырёхугольника.
Николай Москвитин
Представьте себе куклу-неваляшку. Допустим, ее центр тяжести находится на высоте h над плоскостью опоры. Возможно ли ее нижней поверхности придать такую форму, чтобы время возвращения куклы из наклонного состояния в вертикальное не зависело от угла наклона?
Перед нами бумажный равносторонний треугольник. Лицевая сторона красного цвета, задняя — зеленого. Согнув треугольник так, чтобы вершина его легла на противоположную сторону, увидим, что не закрытыми зеленым цветом останутся два красных треугольника. Как с помощью циркуля и линейки построить такую линию сгиба, чтобы площади двух оставшихся красных треугольников относились как k? Какие значения может принимать k?
Авто поднято на подъемнике. От пола до днища картера 180 см. Ось маслосливной горловины наклонена к вертикали под 45°. На полу оцинкованное ведро посреди кучки опилок. Ловким движением туфли мастер устанавливает ведро так, что при съеме пробки масло точно попадает в ведро, и потом в процессе туфля пододвигает ведро еще пару раз. Можно ли сразу установить ведро так, чтоб пододвигать в процессе не приходилось до полной кончины масла, если высота и диаметр верхнего среза ведра равны 30 см, а глубина масла в картере 10 см?
В треугольнике ABC окружность, построенная на диаметре AC, пересекает высоту BD в точке F, а окружность, построенная на диаметре AB, пересекает высоту CE и её продолжение в точках G и H соответственно. Угол CHF равен 12°. Найти величину угла AGF.
