Задача № 180. Сопроматическое кольцо.

Какую форму приобретёт упругое кольцо, повешенное на гвоздь?

Задача № 179. Трубопрокатный след.

Коля и Петя из хулиганских исследовательских побуждений взяли трубу квадратного сечения за торцы и скрутили, повернув торцы друг относительно друга на 720 градусов. Ось трубы при этом осталась прямолинейной. Трубу прокатили по песку в направлении, перпендикулярном ее оси, слегка придавив её и сделав несколько оборотов, так, что вдоль её траектории не осталось не тронутых трубой участков песка. Попробуйте построить сечения следа на песке в направлении движения трубы и в направлении, параллельном оси трубы.

Задача № 178. Распериметровка.

Через середину одной из сторон треугольника провести прямую, делящую периметр треугольника пополам.

MATH WORDS

Задача № 177. Точный разрез.

В треугольнике ABC провести такой отрезок DF, что точка D лежит на AB, F на BC, и |AD|=|DF|=|FC|.

Джим Лой

Задача № 176. Нержавеющая… гайка.

Антенщик-мачтовик, монтируя что-то там на 500-метровой отметке Останкинской телебашни, выронил гайку. В какую сторону и на сколько метров будет отстоять точка падения гайки на землю от вертикали, проходящей через начальную точку?

фольклор

Задача № 175. В Кейптаунском порту с какао на борту…

…букашка по имени Жанетта выползла из дырочки в глобусе диаметром 1 метр в точке, обозначающей Кейптаун, и двинулась на северо-восток, строго придерживаясь азимута 45°. Куда она приползёт и какова будет длина её пути?

Старинная задача навигацких наук

Задача № 174. Диаметр многоугольника.

Назовем диаметром выпуклого многоугольника отрезок, отсекаемый его сторонами на прямой, проходящей через центр тяжести многоугольника. Проведем из центра тяжести луч в произвольном направлении. Теперь, проводя прямые под возрастающим с неким шагом углом к этому лучу, будем измерять полученные диаметры в диапазоне угла от 0 до Пи. Найдем средний арифметический диаметр. Устремив угловой шаг к нулю, найдем точное значение этого среднего арифметического диаметра. Можно ли вывести формулу для вычисления этого диаметра для треугольника со сторонами a, b, c? Для четырехугольника со сторонами a, b, c, d? Интересно было бы найти соотношение между таким средним диаметром треугольника со сторонами a, b, c и диаметрами его вписанной и описанной окружностей.

Задача № 173. …имени Менелая

Через произвольно выбранную точку М внутри треугольника провести прямую, разрезающую треугольник на две равновеликие фигуры.
webmath.ru

Задача № 172. Вписать 4 окружности.

Отрезками прямых, исходящими из вершин равностороннего треугольника, разбить его на четыре треугольника так, чтобы радиусы вписанных в них окружностей были равными.

Forum Geometricorum. Volume 5. 2005

Задача № 171. Две замечательные формулы для треугольника.

Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .

«Полином», №1, 2010

Задача № 170. Площадь имени точки P.

На стороне АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) как на диаметре построена окружность, пересекающая АВ в точке Е. Медиана АD и отрезок СЕ пересекаются в точке Р. Найти площадь треугольника АВС, если РС=7, РЕ=3.

webmath.ru

Задача № 169. Замечательное свойство равнобочной трапеции.

Доказать, что если равнобочная трапеция имеет боковые стороны длиной a, основания b и c, диагональ d, то d^2=a^2+bc.
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer

Задача № 168. Игуаны… павианы… чевианы!

Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что cheviana_ravnostoronnego_treugolnika

университетский фольклор

Задача № 167. Два, три, четыре… и точка P.

На плоскости дана точка P. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого отстоит от точки P на расстояние 2, вторая — на 3, а третья — на 4 (выбранных единиц длины).

H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer

Задача № 166. Переменчивый ролик.

Цилиндрический ролик длиной L и диаметром D катится по горизонтальной плоскости без проскальзываний. В некоторый момент времени диаметр одного из оснований цилиндра начинает меняться пропорционально углу поворота ролика вокруг своей оси (при этом прямолинейность образующей сохраняется, т.е. ролик становится усеченным конусом) и уменьшается за два оборота ролика вокруг своей оси от D до нуля. Какую траекторию опишет на плоскости точка касания малого основания ролика к плоскости?