На односторонней линейке отмечены концы отрезка. Докажите, что с помощью этой линейки можно построить со сколь угодно большой точностью равносторонний треугольник со стороной, равной этому отрезку.
Николай Москвитин
Дан треугольник ABC. Построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольника.
задача Мальфатти
На отрезке AB выбрана произвольно точка С. На отрезках AC и CB как на сторонах построены квадраты так, что все их вершины лежат по одну сторону от отрезка AB. Постройте с помощью одной линейки квадрат, диагональю которого является отрезок AB.
Николай Москвитин
Петя Васильчиков — гениальный ребенок. Так полагает его бабушка Элеонора Бельц. Разумеется, каждый гениальный ребенок просто обязан стать гениальным пианистом. «Только Ronisch 132 !» – настаивала бабушка под самый Новый год. И вот, грузчики Михалыч и Пахомыч пытаются мимо наряженной ёлки закатить пианино в Петину комнату. Для этого им необходимо преодолеть поворот коридора. Ширина коридора до поворота 130 см, длина пианино 152 см, ширина 63 см. Известно, что слегка зацепив обои, но не поцарапав при этом инструмент, грузчики справились с задачей. Какова же была ширина коридора после поворота? Да, интересно также, какой формы следы оставили на полу колеса пианино весом 235 кг.
фольклор
Дана окружность с центром O; радиус OA; касательная AB; отрезок BO пересекает окружность в точке С; прямая DC, перпендикулярная прямой AB (будем считать, что D принадлежит отрезку AB) пересекает окружность в точке E; диаметр EF.
После всей этой неразберихи требуется доказать, что точка A равноудалена от прямых CD, OB и EF.
Николай Москвитин
На плоскости начерчены две пересекающиеся окружности радиусов r1 и r2. Можно ли с помощью циркуля и линейки провести третью окружность заданного радиуса r3 так, чтобы она проходила через точку пересечения двух первых и отсекала на них дуги, стягиваемые равными хордами?
Стороны и высота треугольника выражаются четырьмя последовательными целыми числами. Чему равна площадь этого треугольника?
Г.Э. Дьюдени
На плоскости проведены четыре прямые, попарно не параллельные друг другу. Доказать, что ортоцентры четырех получившихся треугольников лежат на одной прямой.
сетевой фольклор
Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA на прямую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC. Через точки B и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках P и Q, а вторая — в точках M и N. Прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.
Имеется обод велосипедного колеса диаметром d, способный стоять или катиться по горизонтальной плоскости, оставаясь в вертикальной плоскости. Вдоль хорды AB обода натянута струна длиной t. На струне в точках P и Q укреплены шары массами M и m соответственно. |AP|=a, |PQ|=b. Найти точки обода, стоя на которых он будет находиться в равновесии. В какой из них равновесие будет устойчивым?
Каким минимальным числом полос изоленты шириной 1 см можно обклеить куб с ребром N см, использовав при этом минимальное количество изоленты, если ленты можно клеить только параллельно ребрам куба?
Е. Скляревский. По следам problems.ru
На диаметре AB окружности выбрана произвольно точка D. Перпендикуляр к AB, проведенный через точку D, пересекает окружность в точке C. На AD и DB как на диаметрах построены окружности. Общая касательная к этим окружностям, пересекающая CD, касается их в точках M и N соответственно. Доказать, что отрезок AC проходит через точку M, а BC — через N.
Николай Москвитин
Доказать: сумма квадратов расстояний от некоторой точки окружности одного основания цилиндра до концов некоторого диаметра окружности противоположного основания (высота цилиндра и радиус основания считаются постоянными) не зависит ни от выбора точки, ни от выбора диаметра.
Николай Москвитин
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведены биссектриса AD, высота BE. Биссектриса BF угла ABE и биссектриса BG угла EBC пересекают биссектрису AD в точках J и I соответственно.
Доказать: ΙΒ=IJ=IG=IE.
Николай Москвитин
В квадрате ABCD отмечены середины Е и F двух соседних сторон BC и CD соответственно и проведены прямые AE и BF, пересекающиеся в точке G. Около квадрата описана окружность. Точка пересечения прямой AE с нею- точка H. Доказать: GE=EH.
Николай Москвитин
