Архив на категорию ‘задачи на доказательство’

Задача № 195. Неуместившаяся окружность

Воскресенье, июня 24, 2012

В равностороннем треугольнике ABC окружность O касается стороны AC в точке T, а стороны AB и BC пересекает в точках D,E и F,G соответственно. Доказать, что AT + BD + BE = CT + BF + BG.

Ajit Athle, gogeometry.com

Задача № 194. Паутина в квадрате

Воскресенье, июня 24, 2012

Вокруг квадрата описана окружность с центром O, проведены диагонали AC и BD; на дуге CD взята произвольная точка G и в ней к окружности проведены касательная. Диагонали BD и AC пересекают её в точках E и H соответственно. Из E проведена вторая касательная к описанной окружности, точка касания — F. BF пересекает диагональ AC в точке I. Доказать: углы GID и IHD равны.

Николай Москвитин

Задача № 193. Путешествие точки L

Воскресенье, июня 24, 2012

Две окружности касаются внутренним образом в точке A; центры их- O1 и O2 (первая меньшая, вторая большая), на касательной к окружностям в точке A отмечена точка N, из N проведены касательные к большей и меньшей окружности- NC и NB соответственно; прямая BC пересекает прямую NO1 в точке L, NO1 пересекает большую окружность в точках K и P. Доказать: PL=LK.

Николай Москвитин

Задача № 192. Spira mirabilis

Четверг, мая 31, 2012

Окружность касается соседних витков логарифмической спирали. Вторая окружность касается тех же двух витков спирали и касается первой окружности внешним образом.Третья касается тех же витков и второй окружности, так далее ряд окружностей продолжается. Доказать или опровергнуть утверждение: отношение диаметров любых двух соседних окружностей в описанном ряду есть величина постоянная для данной логарифмической спирали.

logaspir2

Задача №190. Дела треугольные

Пятница, мая 18, 2012

В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1, ортоцентр H, центр окружности Эйлера E, центр описанной окружности треугольника AHB — O1. Доказать: С, E, O1 лежат на одной прямой.

Николай Москвитин

Задача №188. Три вешки на прямой.

Понедельник, марта 12, 2012

В окружности с центром O проведён диаметр AB, на ней взяты точки С и E, из них опущены перпендикуляры на диаметр AB- CD и EF соответственно, причём CD=2EF, и точки D и F принадлежат радиусу OA. Отрезок BE пересекает CD в точке G. Через С проведена хорда CH, равная CD.
Доказать: A,G,H лежат на одной прямой.

Николай Москвитин

Задача № 171. Две замечательные формулы для треугольника.

Среда, марта 30, 2011

Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .

«Полином», №1, 2010

Задача № 169. Замечательное свойство равнобочной трапеции.

Понедельник, марта 21, 2011

Доказать, что если равнобочная трапеция имеет боковые стороны длиной a, основания b и c, диагональ d, то d^2=a^2+bc.
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer

Задача № 168. Игуаны… павианы… чевианы!

Пятница, марта 18, 2011

Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что cheviana_ravnostoronnego_treugolnika

университетский фольклор

Задача № 160. Вот такая триромба получается…

Среда, февраля 16, 2011

Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках D, E, F. Пусть K, L, M — точки пересечения сторон треугольника DEF с биссектрисами треугольника ABC . Доказать, что продолжения отрезков KL, LM и KM отсекают от треугольника ABC три ромба.

Н. Москвитин

Задача № 156. Принесли его домой, оказался он… прямой!

Четверг, января 27, 2011

В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, пересекающиеся в точке H. G — середина стороны AB. Прямые AB и DE пересекаются в точке F. Докажите, что прямые CF и GH перпендикулярны.

dxdy.ru

Задача № 155. Касание в ортоцентре.

Вторник, января 25, 2011

Около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. В треугольнике проведены все высоты. Точка их пересечения F. Высота CE продолжена до пересечения с данной окружностью в точке G. Около треугольника GBF описана окружность. Доказать, что высота AD является касается второй окружности в точке F.

Н. Москвитин

Задача №154. Примечательный случай с трапецией.

Пятница, января 14, 2011

Меньшее основание BC трапеции ABCD относится к большему основанию AD как 1:2. В трапеции проведена высота DE к боковой стороне AB.
Доказать: CE=CD

Н. Москвитин

Задача № 152. Средиземноквадратие.

Вторник, января 11, 2011

На отрезке AG произвольно выбрана точка D и на полученных отрезках как на сторонах построены квадраты ABCD и DEFG с вершинами по одну сторону от отрезка. Доказать, что середина отрезка BF лежит на диагонали одного из квадратов и на продолжении диагонали другого.

Н. Москвитин

Задача № 150. Линейчатый равносторонник!

Четверг, декабря 30, 2010

На односторонней линейке отмечены концы отрезка. Докажите, что с помощью этой линейки можно построить со сколь угодно большой точностью равносторонний треугольник со стороной, равной этому отрезку.

Николай Москвитин