Архив на категорию ‘Классика’

Задача № 175. В Кейптаунском порту с какао на борту…

Среда, апреля 6, 2011

…букашка по имени Жанетта выползла из дырочки в глобусе диаметром 1 метр в точке, обозначающей Кейптаун, и двинулась на северо-восток, строго придерживаясь азимута 45°. Куда она приползёт и какова будет длина её пути?

Старинная задача навигацких наук

Задача № 172. Вписать 4 окружности.

Четверг, марта 31, 2011

Отрезками прямых, исходящими из вершин равностороннего треугольника, разбить его на четыре треугольника так, чтобы радиусы вписанных в них окружностей были равными.

Forum Geometricorum. Volume 5. 2005

Задача № 171. Две замечательные формулы для треугольника.

Среда, марта 30, 2011

Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .

«Полином», №1, 2010

Задача № 169. Замечательное свойство равнобочной трапеции.

Понедельник, марта 21, 2011

Доказать, что если равнобочная трапеция имеет боковые стороны длиной a, основания b и c, диагональ d, то d^2=a^2+bc.
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer

Задача № 168. Игуаны… павианы… чевианы!

Пятница, марта 18, 2011

Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что cheviana_ravnostoronnego_treugolnika

университетский фольклор

Задача № 163. С линейкой, но без циркуля…

Суббота, февраля 26, 2011

…через данную точку вне окружности провести касательную к этой окружности.

Задача № 149. Три круга в треугольнике.

Среда, декабря 29, 2010

Дан треугольник ABC. Построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольника.

задача Мальфатти

Задача №144. Целочисленный треугольник.

Пятница, декабря 17, 2010

Стороны и высота треугольника выражаются четырьмя последовательными целыми числами. Чему равна площадь этого треугольника?

Г.Э. Дьюдени

Задача № 134. Утверждение равнобокой трапеции.

Четверг, ноября 11, 2010

Дана равнобедренная трапеция. Доказать следующие утверждения:
1)Точки пересечения прямых, проходящих через вершины тупых углов трапеции и образующих (попарно) равные углы одна с верхним основанием, другая с боковой стороной трапеции, и вершины тупых углов лежат на одной окружности.
2)Центр этой окружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам трапеции, проходящих через эти вершины, причём угол, образуемый этими прямыми, в два раза больше осторого угла трапеции. (аналогичные утверждения можно вывести для другого основания с той оговоркой, что во втором утверждении указанный угол будет больше 180 градусов.)

Николай Москвитин

Задача № 129. Треугольник-минималист

Суббота, октября 2, 2010

Вписать в остроугольный треугольник ABC треугольник KLM минимального периметра (с вершинами K на AB, L на BC, M на CA).

В.И. Арнольд

Задача № 128. Центр нетяжести.

Вторник, сентября 28, 2010

Найти внутри данного треугольника АВС такую точку T, что площади треугольников АTС, ВTС и АTВ относятся, как n : m : k.

Задача № 127. Треутреугольник.

Воскресенье, сентября 26, 2010

Из вершин треугольника проведены прямые, каждая из которых делит противоположную сторону в отношении m/n. Найти площадь треугольника, образованного взаимным пересечением этих трех прямых.
старинная арбузная тема

Задача № 126. Два незадачливых кубика.

Суббота, сентября 25, 2010

Суммарный объем двух кубиков равен 17. Не могли бы Вы указать их точные размеры?

По следам Домашнего задания

Задача № 121. Отрезок в углу.

Четверг, июня 24, 2010

На плоскости начерчен угол и точка P внутри угла. Кроме того, вне угла имеется отрезок AB. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить проходящий через точку P отрезок длиною AB, концы которого лежат на сторонах угла?

Задача № 118. Фантомная точка.

Суббота, июня 12, 2010

На чертеже имеются две прямые, точка пересечения которых лежит за пределами чертежа, и произвольная точка P. Необходимо с помощью односторонней линейки построить прямую, проходящую через точку P и точку пересечения данных прямых.