Задачи по геометрии

В треугольнике ABC провести такой отрезок DF, что точка D лежит на AB, F на BC, и |AD|=|DF|=|FC|.

_{Джим Лой}

…букашка по имени Жанетта выползла из дырочки в глобусе диаметром 1 метр в точке, обозначающей Кейптаун, и двинулась на северо-восток, строго придерживаясь азимута 45°. Куда она приползёт и какова будет длина её пути?

_{Старинная задача навигацких наук}

Отрезками прямых, исходящими из вершин равностороннего треугольника, разбить его на четыре треугольника так, чтобы радиусы вписанных в них окружностей были равными.

_{Forum Geometricorum. Volume 5. 2005}

Доказать, что
1) ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr ;
2) a^2+b^2+c^2=2(p-r-4rR) .

_{«Полином», №1, 2010}

Доказать, что если равнобочная трапеция имеет боковые стороны длиной a, основания b и c, диагональ d, то d^2=a^2+bc.
_{H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer}

Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что

_{университетский фольклор}

…через данную точку вне окружности провести касательную к этой окружности.

Дан треугольник ABC. Построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольника.

_{задача Мальфатти}

Стороны и высота треугольника выражаются четырьмя последовательными целыми числами. Чему равна площадь этого треугольника?

_{Г.Э. Дьюдени}

Дана равнобедренная трапеция. Доказать следующие утверждения:
1)Точки пересечения прямых, проходящих через вершины тупых углов трапеции и образующих (попарно) равные углы одна с верхним основанием, другая с боковой стороной трапеции, и вершины тупых углов лежат на одной окружности.
2)Центр этой окружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам трапеции, проходящих через эти вершины, причём угол, образуемый этими прямыми, в два раза больше осторого угла трапеции. (аналогичные утверждения можно вывести для другого основания с той оговоркой, что во втором утверждении указанный угол будет больше 180 градусов.)

_{Николай Москвитин}

Вписать в остроугольный треугольник ABC треугольник KLM минимального периметра (с вершинами K на AB, L на BC, M на CA).

_{В.И. Арнольд}

Найти внутри данного треугольника АВС такую точку T, что площади треугольников АTС, ВTС и АTВ относятся, как n : m : k.

Из вершин треугольника проведены прямые, каждая из которых делит противоположную сторону в отношении m/n. Найти площадь треугольника, образованного взаимным пересечением этих трех прямых.
_{старинная арбузная тема}

Суммарный объем двух кубиков равен 17. Не могли бы Вы указать их точные размеры?

_{По следам Домашнего задания}

На плоскости начерчен угол и точка P внутри угла. Кроме того, вне угла имеется отрезок AB. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить проходящий через точку P отрезок длиною AB, концы которого лежат на сторонах угла?